Pueden todos los círculos de radio de $1/$ n ser empacados en una unidad de disco, excluyendo el círculo de radio $1/1$?

Question

Este problema se me ocurrió cuando me encontré con un problema similar, donde los radios fueron tomadas sólo los números primos. Esa pregunta se contesta, pero me parece infinitamente muchos círculos de radio de $1/2, 1/3, 1/4...$ puede caber en una unidad de disco. El área de todos los círculos sería de $\pi \sum_2^\infty 1/n^2 = \pi^3/6 -\pi$, que es menor que el área de la unidad de disco $\pi$. Pero puede que los círculos en realidad se llena de no se superpone?

Answer 1

Este embalaje de primera círculos con radios de $\dfrac{1}{2}, \ldots, \dfrac{1}{16}$ me da optimismo en la posibilidad de tales embalaje:

Siguiente paso: se puede cortar habitación libre en tiras, que puede ser embalado con círculos más pequeños...
Esquema es el siguiente:

$2$nd tira: círculos con radios de $\dfrac{1}{17}, \ldots, \dfrac{1}{47}$; $3$rd tira: círculos con radios de $\dfrac{1}{48},\ldots,\dfrac{1}{99}$ (por ejemplo).

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Actualización: Y este embalaje es, tal vez, la más elegante:

Una nota: al organizar los círculos de la fila, luego de "cola" es el rápido convergente:

mientras que la radio es de $\dfrac{1}{n}$, entonces $ $ y = \dfrac{2}{n}$, $x = 2\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{n} \approx 2(\ln n +\gamma)$, donde $\gamma \aprox 0.577$; por lo tanto, la línea roja tiene la fórmula $y = 2 e^{\gamma}e^{-x/2}$. En la imagen anterior esta "cola" está rodando número infinito de veces cerca del círculo principal, pero su anchura es muy muy pequeña. Cada lazo es de $\aprox e^{\pi}\approx 23.14$ veces más delgada que la anterior. Así espesor total de la cola (a partir de $n$-th círculo) tiene el mismo comportamiento: $\tilde ~ e^{-1/(2n)}$.

Answer 2

Considere la posibilidad de alinear todos los círculos con radios de $1/2...1/n$ que cada círculo es tangente a los dos círculos junto a él, y a todos los círculos son tangentes a una línea recta. La función que se aproxima a sus alturas como $n\rightarrow\infty$ es $\sqrt{e^{-n}}$, como se muestra a continuación

$\int_{-1/2}^{\infty} \sqrt{e^{-n}}dn = 2\sqrt[4]{e}$ ~$2.568... \lt \pi$, por lo tanto, toda función puede ser contenido en el interior del círculo unitario como una hermosa espiral, $r=1-\sqrt{e^{-\theta}}$

Esto coincide perfectamente con @Oleg567 elegante embalaje.

Answer 3

Sólo para hacer geometría más atractivo:
(en "pelota de ping-pong, del tamaño de un guisante y la arena en una botella"... véase el comentario de @Patrick Da Silva :)

$4\times$ escala superior izquierda de la esquina:

$4\times$ escala superior izquierda esquina de $2$nd de la imagen:

Uno puede ver fractal de la propiedad de estas imágenes.