"Visualización de objetos matemáticos: consejos y trucos

Question

Hace tiempo que estoy algo atascado con mis habilidades en cuanto a la visualización de objetos matemáticos.

Aquí está el problema.

En primer lugar, permítanme señalar que soy completamente autodidacta. En otras palabras, esto significa realmente que este sitio es la única posibilidad que tengo de hablar matemáticas, que es un poco como tratar de aprender japonés pronunciando rara vez algún enunciado a un hablante nativo al azar con la esperanza de no sonar demasiado idiota.
En segundo lugar, estoy tratando de avanzar hacia cosas más bien abstractas, y -de vez en cuando- tengo la sensación de tener una comprensión decente de lo que está pasando. Sin embargo

Hay algunos objetos a los que simplemente no sé cómo acercarme.

Creo que el problema se puede reformular en términos de definición extensiva vs. intensiva de un objeto matemático determinado. Siempre tiendo a buscar una definición extensa, pero -cuando empiezas a tratar con el análisis real, la topología o la teoría de la medida- ese tipo de definiciones, que literalmente mostrar cómo es un objeto, simplemente empieza a enrarecerse.

Así, cuando encuentro una definición de -digamos- $\ell^p$ o $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ o conjuntos de Borel, entonces realmente no puedo véase lo que está sucediendo. Tal vez pueda manipular los símbolos, e incluso obtener una "prueba" o algo que casi podría parecer una prueba, pero aun así, en la mayoría de los casos no tengo ni idea de lo que está pasando.
[Pequeño inciso: esto es realmente interesante. Mientras las definiciones y los objetos sean algo triviales, hay "imágenes" o consejos para visualizar los objetos, pero cuando se llega al nivel de esos objetos, se asume que el lector/aprendiz en algún lugar tiene las habilidades para visualizar esas estructuras].

Si quieres una analogía, es un poco como estar en una habitación completamente oscura, con varios objetos y la tarea explícita de hacerlos encajar perfectamente. Puedo hacerlo (de vez en cuando), pero esto no implica que vea cómo eran los objetos individuales al principio, y cómo son ahora que están ensamblados. Dicho esto, aquí vienen las preguntas.

¿Cómo percibes o visualizas realmente los objetos matemáticos?
¿Cómo te han enseñado tus profesores/supervisores a visualizarlos?
¿Cómo enseña a sus alumnos a visualizar los objetos matemáticos?
¿Cuáles son los "trucos"?

Hay algo más que hay que añadir, y que creo que está relacionado con el hecho de que soy autodidacta. Muchos libros de matemáticas avanzadas simplemente descartan las "imágenes", aunque (supongo) tal vez los autores se referían implícitamente a ellas cuando empezaron a aprender los temas. Pero aquí está el punto de no -Ser autodidacta: hay alguien que te da estos "trucos" (si no te gusta la palabra, podemos usar " upaya " en su lugar) para construir, y luego borrar todo rastro del uso de esas pistas.

Gracias por su tiempo y por los comentarios que puedan llegar.

P.D.: Para los que se lo pregunten, he añadido las etiquetas "real-analysis" y "measure-theory", porque me encantaría véase los objetos a los que me refería en el texto, y para obtener consejos y sugerencias sobre cómo hacerlo.

EDITAR: Después del buen comentario del usuario86418, me gustaría señalar algo. La idea de la pregunta no es dirigirse a la psicología de las matemáticas o, en otras palabras, cómo cada usuario véase cosas en su propio mundo matemático. En realidad, la idea es buscar los consejos generales que se muestran en la pizarra (¡literalmente!) para visualizar objetos. Un ejemplo podría ser (si recuerdo bien la historia de las matemáticas) el plano de Argan: Gauss fue el primero en tener la idea, pero borró cualquier mención al mismo, y la gente estuvo un poco atascada para visualizar correctamente los números complejos durante un tiempo.

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$ Mi asesor dibujaba un rectángulo con una línea debajo y decía: "Que $P$ sea un haz principal...." Yo, en cambio, dibujaría haces de círculos sobre espacios de base curva. (Cada dibujo era útil para ciertos tipos de preguntas. La cuestión es que mi asesor no me enseñó realmente a visualizar).

En cuanto al tipo de visualización en la pregunta: No soy analista, pero así es como yo visualizo $\ell^{p}$ .

En primer lugar, pienso en el espacio $\Reals^{\omega}$ de secuencias reales como "abarcadas" por un número contable de líneas ortogonales. (Utilizo "abarcar" en un sentido geométrico informal, no en el sentido del álgebra lineal. Visualmente, estas líneas flotan sobre un fondo negro, son azuladas y se desvanecen hasta hacerse transparentes a medida que aumenta el índice). El espacio $\Reals^{\infty}$ de secuencias finitas se parece al subespacio "truncado" en el que los ejes casi transparentes de índice no especificado están "recortados" al origen. Esto transmite más o menos la misma "sensación" que un plano en $\Reals^{3}$ .

Alternativamente, pienso en líneas verticales en el plano, una línea sobre cada número entero positivo, de modo que un elemento de $\Reals^{\omega}$ es una colección de "cuentas", una en cada línea.

Ahora para $\ell^{p}$ : Pienso en los gráficos $y = \pm x^{-1/p}$ e imaginar secuencias (colecciones de cuentas) donde las cuentas se encuentran entre los gráficos. Traducida a "ejes ortogonales", esta imagen se convierte en un producto de segmentos de longitud decreciente; cuanto más grande $p$ es, más lentamente disminuye la longitud a medida que el índice crece (y la densidad azul se desvanece). Esto es literalmente incorrecto por un par de razones, pero me parece una imagen convincente.