Demostrar o refutar: $(\mathbb{Q}, +)$ es isomorfo a $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +)$?

Question

Demostrar o refutar: $\mathbb{Q}$ es isomorfo a $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$. Me refiero a los grupos de $(\mathbb Q, +)$ $(\mathbb Z \times \mathbb Z,+).$ existe un isomorfismo?

Answer 1

Sin embargo, otra forma de ver los dos no pueden ser isomorfos como aditivo para grupos: si $a,b\in\mathbb{Q}$, y ninguna de las $a$ ni $b$ son igual a$0$,$\langle a\rangle\cap\langle b\rangle\neq\{0\}$; es decir, cualquiera de los dos subgrupos no triviales se cruzan trivial. Para ver esto, escribir $a=\frac{r}{s}$, $b=\frac{u}{v}$, con $r,s,u,v\in\mathbb{Z}$, $\gcd(r,s)=\gcd(u,v)=1$. A continuación, $(su)a = (rv)b\neq 0$ se encuentra en la intersección, por lo que la intersección es trivial.

Sin embargo, en $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$, los elementos $(1,0)$ $(0,1)$ son tanto trivial, sino $\langle (1,0)\rangle\cap\langle (0,1)\rangle = \{(0,0)\}$.

Answer 2

Supongo que usted está pidiendo a ver si tenemos un isomorfismo de aditivo grupos.

En ese caso, se asume que el $\phi: \mathbb{Q} \to \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ es un isomorfismo. Así tenemos por ejemplo que el $\phi(0) = (0,0)$. Deje $a\in \mathbb{Q}$ ser tal que $\phi(a) = (1,0)$ $b$ ser tal que $\phi(b) = (0,1)$. Entonces podemos ver que $\mathbb{Q}$ es igual a $\{na + mb \lvert n,m \in \mathbb{Z}\}$. Esta es una contradicción...

(Por lo tanto, el argumento es que el $\mathbb{Q}$ no es finitely generado mientras se $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ es.)

(Voy a dejar los detalles para usted.)

Answer 3

Otro argumento que se puede construir con la siguiente (asegúrese de que usted puede probar/responder a cada sección):

1) Un abelian aditivo grupo $\,A\,$ se dice que ser divisible si $\,\forall a\in A\,\,n\in\mathbb{N}\,\,\exists b\in A\,\,s.t.\,\,nb=a\,$ . Para estar seguro, $n\neq 0$

2) $\,\mathbb{Q}\,$ es un múltiplo de grupo

3) Cualquier imagen homomórfica de una divisible grupo es un grupo divisible

4) Es $\,\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\,$ divisible?

Answer 4

Deje $ \phi: \mathbb{Q} \to \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ ser un homomorphism. Fix $u/v\in\mathbb{Q}$ y deje $(a_n,b_n)=\phi(u/v^n)$. Desde $\phi(u/v)=v^{n-1}\phi(u/v^n)$, obtenemos $a_1=v^{n-1}a_n$ $b_1=v^{n-1}b_n$ todos los $n\in\mathbb N$, lo cual es claramente imposible, a menos que $\phi(u/v)=(a_1,b_1)=(0,0)$.

Así, la única homomorphism $\mathbb{Q} \to \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ es el cero mapa, y no hay ninguna posibilidad de un isomorfismo.

Answer 5

Otra idea: supongamos que existe un isomorfismo $\mathbb Q \to \mathbb Z \oplus \mathbb Z$, entonces el tensor de ambos lados $\otimes_\mathbb{Z} \mathbb Q$, y obtener un $\mathbb Q$-módulo de isomorfismo $\mathbb Q = \mathbb Q \otimes_\mathbb{Z} \mathbb Q \to (\mathbb Z \oplus \mathbb Z)\otimes_\mathbb{Z} \mathbb Q = \mathbb Q\oplus \mathbb Q$.