Factorización de cuadráticas - ¿cómo?

Question

Hace tiempo que no estudio matemáticas (e incluso entonces eran matemáticas de nivel básico), y sé que esto probablemente será fácil para la mayoría, pero necesito ayuda con la Simplificación de ecuaciones de Álgebra.

Ecuaciones sencillas como las que puedo hacer: 3x + 7 + 9x -4 sería (realmente espero) igual a 12x + 3 ¿verdad?

Ahora tengo una ecuación que quiero entender, y es:

He buscado algunas guías sobre cómo llevar a cabo lo anterior y he terminado con respuestas de nivel básico que no ayudaron a lo anterior, o ejemplos más difíciles que no podía conseguir mi cabeza alrededor. He intentado obtener la respuesta y luego "trabajar hacia atrás" en ella, pero no puedo entender lo siguiente (Wolfram Alpha):

Les pido a ustedes, los maravillosos usuarios de este foro, que me ayuden a explicar la pregunta anterior, o me proporcionen la posibilidad de aprender esto de forma independiente.

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Actualización

Después de investigar el método FOIL, me referí a mi genial compañero de trabajo para que me ayudara - creo que es capaz de explicar las cosas a un idiota (yo) y funciona. Básicamente pasamos por el método de la fórmula cuadrática (¡que entiendo!) y mi ejercicio fue el siguiente:

Así es como he procesado esta ecuación (¡con gran habilidad!):

A continuación, aplico el mismo método a la parte inferior y obtengo lo siguiente:

Con la línea superior, entiendo que realizamos tanto 3+7 como 3-7 (lo que da como resultado 5 y -2), sin embargo en la segunda opción asumo (y esto es mérito de mi falta de conocimientos matemáticos), que realizamos la función contraria de menos debido a que la suma original es más 5. ¿Es esto correcto? Siguiendo, realizando tanto la suma como la resta obtenemos 6+4 que da como resultado 10 y seis menos 4 que da como resultado dos, que luego al dividirlo es 1. Sólo intento entender por qué el 1 en esta función es negativo.

¿Podríais destacar algo que esté haciendo mal, aconsejarme si hay algún paso incorrecto o decirme si todo está bien? Se lo agradezco mucho.

Answer 1

Al expandir cualquier expresión factorizada de la forma $(x+a)(x+b)$ es útil recordar la regla FOIL, es decir, primero-entrada-última, especificando todos los términos que hay que multiplicar para obtener la expansión. Es decir,

Primero: $x\cdot x = x^2$

Exterior: $x\cdot b = bx$

Interior: $a\cdot x = ax$

El último: $a\cdot b = ab$

Ahora suma, para obtener $(x+a)(x+b) = x^2 + bx+ax+ab = x^2 + (a+b)x + ab$ . Esta es la razón de ser de la factorización de una expresión de la forma $x^2 + cx + d$ queremos encontrar el $a$ y $b$ valores en $(x+a)(x+b)$ tal que $a+b=c$ y $ab = d$ .

En tu ejemplo, lo hacemos de forma independiente para el numerador y el denominador para obtener ambos en forma factorizada. Entonces podemos cancelar los términos comunes y obtener la respuesta deseada.

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Respuesta a la actualización:

La fórmula cuadrática es una forma infalible de obtener las raíces de una expresión de la forma $ax^2+bx+c$ (las raíces significan los valores de $x$ donde $ax^2+bx+c=0$ ). Es una ecuación útil que vale la pena memorizar. Con la práctica, podrás ver cuáles son las raíces de una ecuación sin aplicar la fórmula, pero si las raíces no son números agradables, la ecuación cuadrática es una buena forma de encontrarlas.

Al encontrar las raíces del numerador, la mayor parte es correcta. Un pequeño error es que escribiste $3^2-4a10$ cuando en realidad, debería ser $3^2-(4)(-10) = 3^2+40 = 49$ . Sin embargo, ¡lo has escrito correctamente dos líneas más abajo!

Para las raíces del denominador, tienes razón, excepto en la última línea, las raíces son $x=(6+4)/2=5$ y $x=(6-4)/2=1$ . Recuerda que las raíces son los puntos que hacen que la ecuación sea igual a cero, por lo que $(x-5)(x-1)=0$ sólo cuando $x=5$ o $x=1$ .

Con eso has llegado a tu respuesta ya que la raíz $x=5$ es común entre el numerador y el denominador y, por tanto, el $(x-5)$ los términos se cancelan.

Avísame si quieres que te explique algún paso más.

Answer 2

Creo que el método de factorización sería más fácil en este caso $$\frac{x^2-3x-10}{x^2-6x-5}$$ Entonces se simplifica su elaboración: $$\frac{x^2-5x+2x-10}{x^2-5x-1x+5}$$ Después lo factorizas: $$\frac{x(x-5)+2(x-5)}{x(x-5)-1(x-5)}$$ Lo que equivale a: $$\frac{(x-2) (x-5)}{(x-1)( x-5)} $$ Entonces $x-5$ se anulan mutuamente, por lo que se convierte en $$\frac{x+2}{x+1}$$