Ramificado cubre de 3-toro

Question

Es sabido que cada orientable de 3 manfiold puede ser obtenida como ramificado cubierta de S³ con una ramificación (de orden) en un enlace en S³. Tengo curiosidad de saber si existe una razonable caracterización de las 3-variedades que cubra 3-toro?

Añadido. Observe que un colector de enlargeble, por lo que no admite una métrica de positivo escalar de curvatura, así por ejemplo, un conectada suma de n copias de S² x S¹ no admitir una ramificado cubierta de la T³ (según entiendo).

Answer 1

Tenga en cuenta que ramificada cubriendo induce una inyección de racional cohomology de los anillos, por consideraciones de transferencia. Por lo tanto, la cohomology de un colector que es un ramificada cobertura de $T^3$ debe contener tres clases de grado 1, cuya triple de la copa del producto es trivial.

Esta condición en un colector $M^3$ implica la existencia de un mapa de $M^3\to T^3$ de los cero grados. Pasando a cubrir el espacio de $T^3$ si es necesario, obtenemos un mapa que es también surjective en $\pi_1$. Suponiendo que el mapa resultante es de grado $\ge 3$, el resultado principal de [Edmonds, Allan L. Deformación de mapas para ramificada revestimientos en dimensión tres. De matemáticas. Ann. 245 (1979), no. 3, 273--279.] implica que este mapa es homotópica a una ramificada que cubre.