Raro conjunto medible

Question

En la siguiente, considere la posibilidad de la Lebegue medida en $\mathbb{R}^d$.

Considere la posibilidad de $E\subseteq \mathbb{R}^d$ medibles, con $0\lt m(E)\lt\infty$, de tal manera que cualquier subconjunto medible $F$ $E$ satisface $m(F)=m(E)$ o $m(F)=0$. ¿Qué podemos decir acerca de $E$? ¿Existe un conjunto?

Answer 1

Usted está preguntando si la medida de Lebesgue tiene átomos de $E$, es decir, una mínima medible conjunto de medida positiva. La respuesta es negativa: la medida de Lebesgue es atomless. [Mi respuesta se supone que estamos trabajando con $\mathbb R$, pero la idea principal que lleva a través de todas las dimensiones.]

Prueba 1. Revisión medibles $E$ de medida positiva, y un real $r$ tal que $0 < r < m(E)$. Para $n \in \mathbb Z$, definir $J_n := [n r, (n+1) r)$$E_n := E \cap J_n$. Por lo tanto el $J_n$'s (resp. $E_n$'s) partición de $\mathbb R$ (resp. $E$) en conjuntos de medida en la mayoría de las $r$.

• Para cualquier $n$, $E_n$ es un subconjunto medible de $E$.
• De$E_n \subseteq J_n$,$m(E_n) \leqslant m(J_n) = r < m(E)$. [En particular, $E_n$ tiene medida finita incluso si $m(E) = \infty$.]
• De subadditivity, tenemos $m(E) \leqslant \sum_n \ m(E_n)$. Por lo tanto, asumiendo $m(E) > 0$, existe alguna $n$ tal que $m(E_n) > 0$. Tal $E_n \subseteq E$ satisface $0 < m(E_n) < m(E)$.

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Prueba 2. (Ligeramente modificada de Robert Israel comentario.) Deje $B_r$ denotar la (abierto o cerrado) de la bola de radio de $r$ sobre el origen. A continuación, la función de $h : [0, \infty) \to [0, \infty)$ definido por $h(r) := m(B_r \cap E)$ es tanto monótonamente creciente y continua.* Además, $h(0) = 0$, e $h(r) \to m(E)$$r \to \infty$. Por lo tanto, por el teorema del valor intermedio, podemos concluir que por cada $0 \leqslant t \lt m(E)$, existe alguna $0 \leqslant r \lt \infty$ tal que $h(r) = m(E \cap B_r) = t$.

*Prueba deja como ejercicio.

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Edit. Reescribí mi respuesta para no apelar a la contradicción. Espero que esto sea más sencillo. Gracias a Nate, GEdgar y Michael por sus comentarios con respecto a la terminología. Gracias a Robert por su comentario.