Geometría no euclidiana para niños

Question

Debería haber hecho esta pregunta hace dos años, cuando mi hijo (en ese momento, de 9 años) se acercó a mí y me dijo: "Papá, hoy en el colegio nuestro profesor ha dibujado una línea en un papel y ha dicho que esto es una línea recta, que va desde ambas direcciones y que no se encuentra con ella misma". Yo le contesté: "Vale, ¿qué tiene de malo? Me dijo: "pero creo que se encuentra consigo misma". Le dije: "¿cómo es eso?". Entonces, dibujó una línea en un papel, hizo un cilindro con el papel y me mostró cómo. En ese momento, supe que había un elemento de verdad en su idea, pero por miedo a destruir la originalidad de su pensamiento no añadí nada y le prometí que pensara en su idea. No cumplí mi promesa. Pero anoche, él (ahora con once años) volvió a mí con la misma idea pensando en lo que ocurre en una esfera. De nuevo, le prometí que lo discutiríamos más tarde (se supone que es hoy). La cuestión es cómo puedo ayudarle a desarrollar sus ideas. La pregunta para usted es: ¿Hay alguna fuente disponible?

Answer 1

Una introducción clásica a algunos aspectos de la geometría no euclidiana es la obra de Edwin Abbott Flatland . Sería bueno para su hijo ahora porque no requiere ningún aparato técnico.

( Flatland sirvió de inspiración para esta escena en la obra de Carl Sagan Cosmos . Sagan menciona a Abbott por su nombre).

Otro libro es Geometría, relatividad y cuarta dimensión . Si eres relativamente competente en matemáticas, este libro te dará mucho material: la explicación de los cinco axiomas euclidianos, lo que ocurre cuando descartamos el axioma del paralelo, ... Sólo los diagramas de los primeros capítulos te darán cosas de las que hablar con tu hijo. Yo lo he utilizado con hijos adolescentes de amigos.

Answer 2

En realidad, existe una geometría no euclidiana perfectamente agradable que no requiere ninguna imaginación adicional: geometría esférica . Sólo tienes que hacer las matemáticas habituales y descubrir toneladas de cosas geniales, como la existencia de un triángulo con tres ángulos rectos.

Answer 3

Un niño inteligente. no ¡desaliéntalo! Está bien decir que ha descubierto algunos aspectos de la geometría no euclidiana que no se enseñan generalmente y que tú mismo podrías no saber todas las respuestas, pero que debería buscar en Google o en la biblioteca local.

La geometría euclidiana supone que el espacio es básicamente "recto" y que la distancia más corta es la línea recta. Las líneas curvas de un cilindro o una esfera no son "realmente" líneas porque no son rectas. Se puede tener un cilindro o una esfera como objetos, pero se supone que las líneas son planas e inflexibles. El espacio 3d es igualmente "plano" y recto.

La geometría no euclidiana permite que el espacio pueda ser "curvo". Existen dos tipos de geometrías no euclidianas: la esférica y la hiperbólica. La esférica supone que el espacio se "abomba" y la hiperbólica supone que el espacio se "aprieta hacia dentro".

Spherical tiene un modelo perfecto en el espacio euclidiano, la esfera. Imagina que el espacio se curva como la esfera, pero de forma imperceptible e inconmensurable. Si nos dirigimos en línea recta, al final volveremos sobre nosotros mismos, y dos líneas, aunque empiecen separándose, al final se doblarán la una hacia la otra.

La hiperbólica, a veces llamada saddleseat, no tiene un buen modelo, pero las fotos de mc escher de los círculos con horizontes en retroceso se acercan bastante. Las líneas son eternas y no se encuentran, pero se alejan. Dos líneas cualesquiera se alejan.

Las dos ideas importantes son líneas paralelas. En la geometría euclidiana, un par de rectas paralelas se mantienen siempre a la misma distancia. Sólo hay un par de cales paralelas a cierta distancia. (Esto es una paráfrasis casual y muy imprecisa del 5º postulado de Euclides. La redacción real es precisa y clara, pero muy incómoda). En la geometría esférica no hay líneas paralelas. Todas las líneas acaban cruzándose y separándose. Dos líneas que van en la misma dirección con el mismo ángulo interior relativo (que en el espacio euclidiano sería ser paralelos) acaban encontrándose. En la geometría hiperbólica existe un múltiples líneas paralelas a distancia.

Debería decirlo de otra manera. Una forma del postulado 5 de Euclides es que dada una línea, un punto que no está en la línea, habrá exactamente una línea paralela a la primera línea que pasa por ese punto. Este par de líneas paralelas permanecerá "recto" y a igual distancia y tendrá ángulos interiores de 180 grados. En la geometría esférica no hay líneas paralelas que pasen por el punto. Hay una línea con un ángulo interior de 180, pero al final se acerca. En la hiperbólica hay muchos Las líneas paralelas que pasan por el punto (todas se cruzan entre sí) muchas de ellas a 180 grados, pero no es necesario que todas las líneas paralelas estén a 180. Estas líneas pueden acercarse y luego separarse o simplemente separarse. Pero no se quedan a la misma distancia.

.....

Así que, referencias. Um, "matemáticas recreativas" de la biblioteca local. Colecciones de ensayos cortos de Martin Gardner o Isaac asimov. También "sphereland" de burger como pieza de acompañamiento no euclidiana de "flatland" de abbott. (Su hijo amor plano, aunque es estrictamente euclidiano).