¿Cuál es el valor de esta integral impropia? $ \lim_ {x \rightarrow 0 } \dfrac {1}{x} \int_ {x}^{2x} e^{-t^2}\, \mathrm dt$

Question

$$ \lim_ {x \rightarrow 0 } \dfrac {1}{x} \int_ {x}^{2x} e^{-t^2}\, \mathrm dt$$

No tengo ni idea de cómo resolver esta integral.

Answer 1

Tal vez, una forma fácil es usar la regla de l'Hopital:

$$ \lim_ {x \to 0} \frac { \int_x ^{2x}e^{-t^2}\,dt}{x}= \lim_ {x \to 0} (2e^{-4x^2}-e^{-x^2})=1$$

¿Cómo puedo diferenciar el numerador?

Se utiliza la regla

$$g(x)= \int_ {a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt \implies\\\implies g'(x)=b'(x)f(b(x))-a'(x)f(a(x))$$

que es válido siempre que $f$ es continua en un intervalo adecuadamente grande, $ \mathbb R$ ) y $a,b$ son diferenciables.

En efecto, $ \int_ {a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt=F(b(x))-F(a(x))$ para una función diferenciable tal que $F'(x)=f(x)$ . Y obtienes la fórmula anterior usando la regla de la cadena.

Answer 2

Pista: Escriba la serie $1-t^2+ \cdots $ para $e^{-t^2}$ integrar término por término, y dividir por $x$ .

Observación: Si su pregunta era sobre encontrar un antiderivado de $e^{-t^2}$ como primer paso para resolver el problema, eso no funcionará. Para $e^{-t^2}$ no tiene un antiderivado que pueda expresarse en términos de funciones elementales.

Answer 3

Esto no es una integral impropia ( $x \to 0$ )

Ahora denota $f(x)= \int_0 ^xe^{-t^2}dt$

Teniendo en cuenta $f(0)=0$ y $f'(x)=e^{-x^2}$ que estamos buscando:

$$ \begin {align} \lim_ {x \to 0}{f(2x)-f(x) \over x}&=2f'(0)-f'(0) \\ &=1 \end {align}$$

Answer 4

Si no quieres usar la regla de L'Hôpital, puedes reescribir el límite como $$ \lim_ {h \rightarrow 0 } \frac { \int_ {h}^{2h} e^{-t^2} dt- \int_ {0}^{2 \cdot0 } e^{-t^2} dt}{h} $$ y reconocer el derivado de $$ f(x):= \int_ {x}^{2x} e^{-t^2} dt $$ en $x=0$ que es (por la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo) $$ f'(0)=2e^{0}-e^0=1 $$

Answer 5

En un barrio del origen: $$ e^{-t^2} = 1-t^2 + o(t^3) \tag {1}$$ por lo tanto: $$ \int_ {x}^{2x}e^{-t^2}\,dt = x- \frac {7}{3}x^3+o(x^4) \tag {2}$$ y: $$ \frac {1}{x} \int_ {x}^{2x}e^{-t^2}\,dt = \color {red}{1}- \frac {7}{3}x^2+o(x^3). \tag {3}$$