¿Intuición geométrica tras el retroceso?

Question

Me cuesta formarme una intuición geométrica de pullback y pushforward.

La definición que da el libro es la siguiente: Hay dos conjuntos abiertos, $A$ y $B$ . Existe una doble transformación de formas $\alpha^*$ entre los formularios de $A$ y $B$ . Dada una $0$ -forma $f:B\to\Bbb R$ , $(\alpha^*f)(x)=f(\alpha(x))$ . Entonces dado un $k$ formulario $\omega$ en $B$ el libro pasa a definir la forma k $\alpha^*\omega$ de la misma manera. No consigo entender la intuición geométrica que hay detrás de todo esto. ¿Puede alguien ayudarme? Cualquier intuición sería enormemente beneficiosa.

Estoy utilizando Munkres "análisis en colectores"

Gracias de antemano.

Answer 1

Suponga que tiene un mapa $\alpha: A \rightarrow B$ . Hay ciertos elementos asociados que "avanzan" o "retroceden":

Los puntos se envían hacia adelante. Dado $p \in A$ tenemos $\alpha(p) \in B$ .

Las funciones se devuelven, es decir, se retiran de $B$ a $A$ . Si tenemos una función $f: B \rightarrow \mathbb{R}$ entonces obtenemos la composición $f \circ \alpha : A \rightarrow \mathbb{R}$ .

Los vectores se envían hacia adelante. Dado $v \in TA_p$ tenemos el mapa de derivadas $d\alpha_p: TA_p \rightarrow TB_{\alpha(p)}$ (o tal vez su libro llama a esto $\alpha_*$ ; en coordenadas es sólo la matriz derivada). Así obtenemos $d\alpha_p(v) \in TB_{\alpha(p)}$ .

Las formas únicas dan funcionales lineales en cada espacio tangente; es decir, son funciones que toman vectores como entrada. Como tales, al igual que las funciones, se devuelven. Si tenemos una forma $\omega$ en $B$ obtenemos $\omega_q : TB_q \rightarrow \mathbb{R}$ . Por lo tanto $p \in A$ con $\alpha(p) = q$ obtenemos $\omega_q \circ d\alpha_p : TA_p \rightarrow \mathbb{R}$ es una función lineal sobre $TA_p$ . Obtenemos una forma única en $A$ de esta manera.

Básicamente, los objetos geométricos "avanzan" y las funciones sobre ellos "retroceden".

Answer 2

Yo lo veo así: Si tienes una cartografía $\alpha: A \to B$ si desea utilizarlo para transferir infraestructuras como funciones de valor real o campos vectoriales, $k$ -formas, etc, entre $A$ y $B$ . La cartografía $\alpha$ ya permite asignar a cada punto $x \in A$ un punto asociado $y= \alpha(x) \in B$ pero te gustaría usarlo para formar asociaciones entre funciones y más.

El inconveniente del pullback/pushforward es que la asociación no va siempre en la misma dirección. La asignación $\alpha$ toma puntos en $A$ y los asigna a puntos de $B$ pero para las funciones, la asociación inducida que es la que has dado va en sentido contrario, es decir

$\alpha^*: C^{\infty}(B) \to C^{\infty} (A)$

$f \mapsto \alpha^*f$ donde la nueva función $\alpha^*f$ se define por $(\alpha^*f)(x) \equiv (f \circ \alpha) (x)$ .

Debido a que el mapeo inducido $\alpha^*$ funciona en sentido inverso ( $B$ a $A$ ) como $\alpha$ hace ( $A$ a $B$ ), se conoce como pullback. Es útil hacer un dibujo. Aquí hay uno del maravilloso libro de Baez y Muniain Campos galvánicos, nudos y gravedad que recomiendo encarecidamente para este tema y muchos otros. Tenga en cuenta que la siguiente correspondencia se mantiene entre su notación y la suya:

Atentamente $\longleftrightarrow$ El suyo

$A \longleftrightarrow M $

$B \longleftrightarrow N $

$\alpha \longleftrightarrow \varphi $

En el caso de los campos vectoriales, pueden verse como derivadas direccionales en una dirección dada en cada punto digamos de $A$ por lo que un vector $v$ en $A$ debe asignar funciones $g$ definido en $A$ a escalares. Podemos utilizar nuestro pullback ya establecido $\alpha^*$ que mapea $C^{\infty}(B)$ a $C^{\infty}(A)$ para definir un pushforward del vector $v$ en $A$ a un vector $\alpha_*v$ en $B$ por

$(\alpha_*v)f \equiv v (\alpha^*f)$

desde $v$ (que ya tenemos) come funciones en $A$ para dar un escalar, y lo hemos alimentado con eso ( $\alpha^*f$ ). Cualquiera que sea el escalar que dé, lo tomamos como el resultado de aplicar $\alpha_*v$ a $f$ .

A partir de aquí, las definiciones recursivas continúan, alternando entre pullbacks y pushforwards. Por ejemplo, el siguiente paso sería definir un pullback para formas 1 a partir de $B$ a $A$ pensando en ellos como cosas que comen vectores y dan números, y usando el pushforward para vectores de forma análoga a como acabamos de usar el pullpack para funciones en nuestra definición del pushforward para vectores.

Answer 3

Espero que la siguiente imagen simplificada le sirva de ayuda:

$f$ es una función suave de $B$ a $\mathbb{R}$ . $\alpha$ es un mapa de $A$ a $B$ . Si $\alpha$ mapea un conjunto abierto $X$ a $\alpha(X)$ et $f$ lo asigna a un conjunto de $\mathbb{R}$ podemos ver el pullback como la función que mapea $X$ a $\mathbb{R}$ . Es la composición de $f$ y $\alpha$ . Así, para cada función suave $f$ en $B$ , se tira de nuevo a través de $\alpha$ para hacer una función en $A$ .