Hamilton se conserva, pero no es la energía mecánica total

Question

Me pregunto acerca de la interpretación de la diferencia de energía entre los Hamiltonianos y el total de la energía mecánica para sistemas donde el Hamiltoniano se conserva, pero no es igual a la energía mecánica total.

Por ejemplo, considere la posibilidad de una gota (de masa $m$) en un aro de fricción (radius $R$) en presencia de la gravedad. El aro se hace girar alrededor de un eje paralelo a la aceleración de la gravedad a velocidad angular constante ($\omega$). Este es el típico de este problema.

El total de la energía para este sistema (con $\phi$ para indicar el ángulo de la parte inferior del aro) es:

$$ E = \frac{p_{\phi}^2}{2mR^2} + \frac{1}{2} mR^2 \omega^2 \sin^2 \phi + mgR (1- \cos \phi) $$

donde $p_{\phi} = mR^2\dot{\phi}$.

El Hamiltoniano es:

$$ H = \frac{p_{\phi}^2}{2mR^2} - \frac{1}{2} mR^2 \omega^2 \sin^2 \phi + mgR (1- \cos \phi) $$.

Así que la diferencia entre la energía mecánica total y el Hamiltoniano es:

$$ E-H = mR^2 \omega^2 \sin^2 \phi $$

que es el doble de la energía cinética de rotación, creo. Sólo estoy tratando de conseguir una manija en lo que esta diferencia significa. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Creo que este teorema puede ayudar a usted.

Suponga que $L=T-U$ es de lagrange del sistema. $T$ es energía cinética que se presenta como una forma cuadrática de $\dot{q}$: $T=\frac{1}{2}\sum a_{ij}\dot{q_i}\dot{q_j}$, $a_{ij}=a_{ji}(q,t)$; $U=U(q)$.

Teorema: Bajo estos supuestos Hamiltonianos $H$ es el total de energía de sistema de $H=T+U$

La prueba del teorema: Utilizando el teorema de Euler sobre funciones homogéneas $\frac{\partial f}{\partial x}x=2f$. Entonces tenemos: $H=p\dot{q}-L=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q}-(T-U)=2T-(T-U)=T+U $ $\blacksquare$

Así que si usted tiene el sistema con estos supuestos, se puede decir que el Hamiltoniano y el total de la energía son la misma cosa.

Estoy seguro de que si la energía potencial depende de la velocidad, la energía será diferente de la de Hamilton.

Usted puede obtener más información sobre esto en Arnold Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica

Answer 2

Es la energía externa de que el aro de las necesidades a la vuelta. El Hamiltoniano es una cantidad conservada, ya que no depende del tiempo de forma explícita, pero la energía mecánica (cinética más potencial) no se conserva.

Tenga en cuenta que:

$$E=K_1 + K_2 + U$$ donde $K_2$ es la cinética plazo que no depende de las velocidades de la $\dot \phi$, luego $$L=K_1 + K_2 - U$$ y $$H=K_1 - K_2 + U$$ desde $K_2$ no depende de las velocidades y para el Hamiltoniano es un potencial efectivo plazo.

Answer 3

Creo que el Hamiltoniano no es necesariamente el de la energía por la siguiente razón: se puede demostrar que el Lagrangiano puede deducirse del principio de D'alembert, que está ligado al concepto de fuerza, etc. pero también puede ser deducido a partir de la Hamilton principio que es un puro concepto matemático aplicado a la física (una cierta cantidad, tiene que ser un extremo cuando se integra sobre el verdadero camino). Por lo tanto, usted puede encontrar diferentes formas de Lagrangians dando a las mismas ecuaciones de movimiento (ecuaciones de Lagrange): ya sea por la buiding una de Lagrange $L=T-U$, o mediante la creación de otro de Lagrange en el mobiliario de las mismas ecuaciones. Usted puede pensar que el último de Lagrange da el derecho de las ecuaciones de movimiento, pero en realidad es equivocada: la de Hamilton principio impide afirmar esto.

Ejemplo extraído de un francés de libros de texto (C. Cohen Tannoudji):

Imaginemos dos independientes idénticos 1D osciladores armónicos con coordenadas x e y.

Desde el principio de D'Alembert, que han

$L=T-U=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\frac{1}{2}m\omega_0^2(x^2+y^2)$,

y las ecuaciones de los movimientos son

$\ddot{x}=-\omega_0^2x$

y

$\ddot{y}=-\omega_0^2y$.

Si utiliza esta otra de Lagrange $L'=m\dot{x}\dot{y}-m\omega_0xy$, exactamente a encontrar las mismas ecuaciones. $L'$ podría haber sido deducido a partir de la Hamilton principio.

Entonces, si usted decide escribir el Hamiltoniano utilizar el habitual de Legendre de la transformación y la definición de impulso, fácilmente se demuestra que la Hamiltonianos son también diferentes.

En el mencionado a menudo el caso donde un bastidor móvil es el elegido para definir las coordenadas, es normal que la energía de ser diferente el caso de que el marco está en reposo. Quiero decir, usted encuentra el mismo resultado en la mecánica de Newton: una partícula de masa $m$ y la velocidad de $v$ tiene una energía $E=\frac{1}{2}mv^2$, mientras que en su marco adecuado, $E=0$. A mí esta respuesta para el Hamiltoniano es de alguna manera trivial.