Seis patos en un estanque

Question

Este puzzle me tiene perplejo.

$6$ patos nadando en un estanque de radio $5$. Mostrar que en cualquier momento hay dos patos, una distancia en la mayoría de las $5$ aparte.

Answer 1

Si un pato se encuentra en el centro de la laguna que se hacen. De lo contrario, cada pato tiene un lugar bien definido argumento (de ángulo polar), y podemos numerar los muelles cíclicamente de acuerdo con el aumento de los argumentos. De esta forma, hemos $$\arg(D_i)-\arg(D_{i-1})\geq0,\quad \sum_{i=1}^6 \bigl(\arg(D_i)-\arg(D_{i-1})\bigr)=2\pi\ .$$ De ello se desprende que $\arg(D_i)-\arg(D_{i-1})\leq{\pi\over3}$ durante al menos un $i\in[6]$, y desde un sector circular de radio $5$ y el ángulo central ${\pi\over3}$ tiene el diámetro $5$ se sigue que $|D_i-D_{i-1}|\leq5$ tales $i$.

Answer 2

Vamos a ver si esta respuesta tiene sentido. Digamos que los patos se extiende como la medida de lo posible. Tendría sentido que, para hacer esto, que se extendió uniformemente alrededor de la circunferencia. Dibuja un círculo de radio 5 y 6 puntos a lo largo del perímetro para representar a los patos. Los segmentos de línea que conecta cada punto a su más cercano 2 vecinos crea un hexágono regular. La conexión de estos puntos hasta el centro del círculo crea 6 triángulos equiláteros con un lado de longitud igual al radio de 5.