Si $a$ y $b$ sean las raíces de la ecuación cuadrática $x^2-6x+4=0$ entonces encuentra el valor de la expresión dada.

Question

Dejemos que $a$ y $b$ sean las raíces de la ecuación cuadrática $x^2-6x+4=0$ y $P_n = a^n + b^n$ entonces el valor de

$$\frac{P_{50}(P_{48}+P_{49})-6P_{49}^2+4P_{48}^2}{P_{48}.P_{49}}$$ Las opciones son

$(A)$ $2$

$(B)$ $1$

$(C)$ $4$

$(D)$ $10$

Aquí las raíces son $x=3\pm \sqrt5$ pero cómo vamos a calcular esas grandes potencias. Las raíces son reales, así que no tenemos la ventaja de la teoría de De-Movier.

¿Puede alguien sugerir algo?

Answer 1

Tenga en cuenta que $a+b=6$ y $ab=4$ por el teorema de Vieta. Por otra parte, a partir de $$(a^{n-1}+b^{n-1})(a+b)=(a^n+b^n)+ab(a^{n-2}+b^{n-2})$$ obtenemos la recursión $P_n-(a+b)P_{n-1}+ab P_{n-2}=0$ para que $$P_0=2,\quad P_1=6,\qquad P_n-6P_{n-1}+4P_{n-2}=0\quad(n\geq2)\ .$$ Utilizando el "Teorema Maestro" es posible obtener una representación explícita de $P_n$ que debería permitir calcular la expresión en cuestión.