Hay en concreto las dos formas, la continuidad y la continuidad uniforme, a que me refiero. Así que una función es continua si el gráfico "no se rompe", pero esto también se aplica a un uniforme de función continua. ¿Qué más se requiere para que sea uniformemente continua? Sé que las definiciones técnicas (continuidad: $\forall \varepsilon \, \forall x \, \exists \delta \, \forall y \, ( \, |y-x|<\delta \, \Rightarrow \, |f(y)-f(x)|<\varepsilon \, )$, uniforme de continuidad: $\forall \varepsilon \, \exists \delta \, \forall x \, \forall y \, ( \, |y-x|<\delta \, \Rightarrow \, |f(y)-f(x)|<\varepsilon \,)$), pero en términos geométricos, ¿qué significa?
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Hay una gran teorema acerca de la continuidad uniforme que me ayudó a entender bastante bien.
Si $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función y si $\lim_{x \to \infty} f(x)/x = \pm\infty$, $f$ no es uniformemente continua.
Básicamente, lo que esto significa es que el "último" uniforme de funciones continuas son lineales. Si la función crece más rápido que cualquier función lineal, no puede ser uniformemente continua. Se puede aplicar esta intuición para funciones similares, como bien $f(x) = \sin(x^2)$ no es uniformemente continua porque, finalmente, su local supera el crecimiento de un arbitrario de la función lineal.
Edit: Aquí está la prueba. Suponga que $f$ es uniformemente continua. Entonces no es $\delta > 0$ tal que $|x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < 1$. Si $f(x)/x$ tiene algún límite como $x \to \infty$ $(f(x) - f(0))/x$ debe tener el mismo límite, porque el $f(0)/x \to 0$. Ahora,
$\left|\frac{f(x) - f(0)}{x}\right| = \left|\frac{f(x) - f(x - \delta) + f(x - \delta) - ... + f(\delta_0) - f(0)}{x}\right| \leq \left|\frac{f(x) - f(x - \delta)}{x} \right| + \left| \frac{f(x - \delta) - f(x - 2\delta)}{x} \right| + ... + \left| \frac{f(\delta_0) - f(0)}{x}\right| < \frac{x}{\delta}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{\delta}$
así que el límite no puede ser infinito. Yo solía $\delta_0$ a de ser algún número positivo menor que $\delta$; podría ser que $x$ no es un múltiplo exacto de $\delta$ y esta se lleva el resto. En la primera igualdad usé una suma telescópica; en la segunda utiliza el triángulo de la desigualdad; en el tercero sólo me contó el número de términos.
Michael Lowman
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658
La continuidad de la $f$ $a$ significa que puedo hacer $f(x)$ tan cerca de como yo lo quiero a $f(a)$ hacer $x$ cerca de $a$. Permítanos formalizar: No importa cómo de pequeño es un error de tolerancia (para todos los $\epsilon > 0$), uno puede hacer $f(x)$ cerca de $f(a)$ dentro de este error de tolerancia ($|f(x)-f(a)|< \epsilon$) por la búsqueda de un número $\delta$ que si $x$ es de menos de $\delta$ $a$ $f(x)$ es de menos de $\epsilon$ $f(a)$.
Para el uniforme de continuidad, en primer lugar tomar un ejemplo. Deje que nuestro error de tolerancia ( $\epsilon$ )$1/2$. Si $f(x)$ = x, entonces si quiero hacer $f(x)$ en la mayoría de las $1/2$$f(a)$, todo lo que necesitas hacer es hacer $x$ $1/2$ fuera de $a$ (deje $\delta = \epsilon = 1/2$). Generalmente, sin embargo, $\delta$ depende de $x$: si $f(x) = x^2$, luego cerca de cero todos los $f(x)$'s están bastante cerca unos de otros ($f(x)$ no está cambiando muy rápido), por lo $\delta$ puede ser muy grande, si x es un poco cercano a cero, entonces se $f(x)$ dentro de 1/2 de cero. Sin embargo, si x está cerca de los 100, $f(x)$ está cambiando muy rápidamente, y por lo tanto para $f(x)$ estar cerca de $f(100) = 10000$, $x$ tiene que estar realmente cerca de 100 por $f(x)$ a en la mayoría de 1/2 de la de $f(100)$ o $\delta$ debe ser pequeñito. Uniforme de continuidad sólo dice que un mínimo de $\delta$ funciona: si $x, y$ están en el intervalo, no importa cómo de rápido se $f$ está cambiando, se garantiza que si $x$ $y$ están dentro de$\delta$, $f(x)$ $f(y)$ están dentro de $\epsilon$ de cada uno de los otros.
qneill
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139
Espero que esta ayuda: por un triángulo inscrito hablo de un triángulo rectángulo s.t. los vértices de su lado más largo está en la gráfica de la función $f$ y los lados adyacentes al ángulo recto(piernas) son paralelos a $x$-eje y $y$-eje(por desgracia no sé cómo dibujar una imagen aquí), que llamamos el lado paralelo a $x$-eje de su base y ,en el lado paralelo a $y$-eje de su altitud(sólo aquí generalmente no!)
$f$ es uniformemente continua si cuando nos fijamos en el conjunto de todos los triángulos inscritos, la altitud se convierte en lo suficientemente pequeño como siempre que la base se convierte en lo suficientemente pequeño.
por ejemplo, $f(x)=\sin{1/x}$ no es uniformemente continua debido a que cerca de $0$ usted puede encontrar inscrito triángulos con arbitraria pequeña base de s.t. su altura no es lo suficientemente pequeño. del mismo modo, $f(X)=x^2$ no es uniformemente continua(supongo que el dominio es toda la recta real) debido a que usted puede encontrar inscrito triángulos con propiedades similares, sin embargo, en este caso los triángulos ir lejos de $0$.
Uno puede encontrar una interpretación similar para la continuidad en términos de triángulos inscritos que tiene uno de sus vértices(excepto el vértice con el ángulo recto) en el punto de $(x,f(x))$.
