¿Función que decae más rápido que cualquier polinomio, pero no en el espacio de Schwartz?

Question

Motivado por la condición muy restrictiva impuesta en la definición del espacio de Schwartz, me preguntaba sobre la siguiente cuestión.

¿Existe una $C^\infty$ que decae más rápido que cualquier polinomio, pero cuyas derivadas no lo hacen?

Es decir, nos gustaría $|x^n f(x)|$ para estar acotado para todos los $n$ y $x$ pero para $|x^n f^{(k)}(x)|$ sea ilimitado para todos los $n$ y $k>0$ como $x$ se extiende sobre los reales.

Desgraciadamente, sólo conozco una función que decae rápidamente (la exponencial), y no funciona aquí. Tal vez si nos fijamos en algunas oscilaciones, como $\sin(x^2)$ ¿eso ayudaría?

Answer 1

Considere $f(x)=e^{-x^2}\sin(e^{x^2})$ . Entonces $f'(x)=-2xe^{-x^2}\sin(e^{x^2})+2x\cos(e^{x^2}).$