La tasa de convergencia de la serie de los cuadrados de primer recíprocos

Question

Es bien sabido que $\sum_{p \text{ prime}} \frac{1}{p}$ diverge, y de hecho - que se comporta como el registro de la serie armónica: $$ \sum_{p \le x} \frac{1}{p} = \log \log x + O(1). $$ También es bien conocido que el $\sum\limits_{p \text{ prime}} \frac{1}{p^2}$ converge. Lo que se sabe acerca de la tasa? Dejando $C = \sum\limits_{p \text{ prime}} \frac{1}{p^2}$, ¿qué puede decirse acerca de la $C - \sum\limits_{p \le x} \frac{1}{p^2}$?

Estoy leyendo un artículo (una encuesta de Artin de la Raíz Primitiva Conjetura - que resulta de la GRH). Estoy tratando de entender cuáles son las condiciones en las funciones de $f_1\le f_2$ tiende a infinito en el orden en que $$ \sum_{f_1(x) \le la p \le f_2(x)} \frac{1}{p^2} = O\left(\frac{1}{\log x}\right). $$ Por supuesto que puedo tomar $f_1(x) = \log\log\log x$, $f_2(x) = \log\log x$, pero quiero que las condiciones generales.

Answer 1

Permite reorganizar la suma de $C-\sum_{p\leq x}\frac{1}{p^{2}}=\sum_{p>x}\frac{1}{p^{2}}$. Usando integración por partes esta es $$\sum_{p>x}\frac{1}{p^{2}}=\int_{x}^{\infty}\frac{1}{t^{2}}d\left(\pi(t)\right)=\frac{\pi(t)}{t^{2}}\biggr|_x^\infty+2\int_{x}^{\infty}\frac{\pi(t)}{t^{3}}dt.$$ Using the prime number theorem, that is the asymptotic for $\pi(x),$ you can deduce that the quantity on the right hand side is $\sim\frac{1}{x\log x},$, que es su velocidad de convergencia.

Sólo vale la pena destacar, esto es exactamente lo que cabría esperar. La cola de la suma de todos los enteros que tiene el tamaño de $\frac{1}{x}$ $\sum_{n>x} \frac{1}{n^2}\sim \frac{1}{x}$ y el de los números primos se producen con la densidad de $\frac{1}{\log n}$$n$, de modo que podemos esperar la cola de la suma a ser de tamaño $\frac{1}{x\log x}$. Parcial resumen/integración permite a probar esto.

Edit: Sustituye $\asymp$$\sim$, ya que como señaló Greg Martin en los comentarios, el Teorema de los números Primos es lo suficientemente fuerte como para producir este/