Deje $H$ ser el espacio de Hilbert y $A$, $B$ - auto-adjoint (limitada o ilimitada) los operadores en $H$. Según el teorema espectral para cada delimitada Borel función de $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ hemos $$f(A) = \int d \mu_A(\lambda) ~f(\lambda) $$ $$f(B) = \int d \mu_B(\lambda) ~f(\lambda) $$ donde $\mu_A$, $\mu_B$ son espectral de las medidas de $A$ $B$ respectivamente.
Vamos a suponer que los operadores de $A$ $B$ conmutar (en caso de que cualquiera de ellos es ilimitado significa que todas las proyecciones de sus asociados espectral medida conmutan). Me pregunto si es posible definir $g(A,B)$ cualquier $g: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ por $$g(A,B) = \int d \mu_A(\lambda_1)d\mu_B(\lambda_2) ~g(\lambda_1,\lambda_2) .$$
Según Reed & Simon vol. 1, Thm VII.12 de la declaración es verdadera para $g(\lambda_1,\lambda_2)=\exp(i t_1\lambda _1 + i t_2 \lambda_2 )$, donde $t_1$, $t_2$ son arbitrarias real de los parámetros.
Si el Borel función de $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es ilimitado y un valor real, a continuación, $f(A)$ es auto-adjunto en el dominio que consta de $\psi\in H$ para los que $$ \int (\psi,d\mu_A(\lambda)\psi) ~|f(\lambda)|^2<\infty$$.
Es cierto que para $g:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ ilimitados y con un valor real, $g(A,B)$ es auto-adjunto en el dominio que consta de $\psi\in H$ para los que $$ \int (\psi,d\mu_A(\lambda_1)d\mu_B(\lambda_2)\psi) ~|g(\lambda_1,\lambda_2)|^2<\infty.$$
Por ejemplo: si $A$ $B$ conmutar (en un sentido de proyecciones espectrales) entonces podemos definir la auto-adjunto del operador $A+B$ con el dominio que consiste de $\psi\in H$ para los que $$ \int (\psi,d\mu_A(\lambda_1)d\mu_B(\lambda_2)\psi) ~(\lambda_1+\lambda_2)^2<\infty.$$ Estoy en lo cierto?
