Si a y b son elementos del grupo y ab ≠ ba, demostrar que aba ≠ identidad.

Question

P: Si a y b son elementos del grupo y ab ≠ ba, demostrar que aba ≠ identidad.

Me comenzó diciendo mi teorema, asumió entonces ab ≠ ba. Luego he intentado un par inverso de la ley de manipulaciones, que trabajó en un sentido, sin embargo me llevaron a ninguna parte, como no podía terminar mi prueba concreta. Sugerencias? Soluciones?

Answer 1

Me recomiendan un enfoque por contrapositivo. Si $aba=e,$ $a(ba)=e$ (por lo $ba=a^{-1}$) y $(ab)a=e$ (por lo $ab=a^{-1}$), y por lo....

Answer 2

Trate de probar el contrapositivo; es decir, si $aba=e$$ab=ba$. Primero de todo, se multiplican ambos lados de $aba=e$ a la izquierda por $a^{-1}$ conseguir $ba=a^{-1}$; ahora se multiplican ambos lados de este, a la derecha por $a^{-1}$ conseguir $b=a^{-2}$. Ahora, puede usted ver por qué $b$ viajes con $a$?

Answer 3

$$aba=1\implies ab=a^{-1}\;\;(1)\implies a=a^{-1}b^{-1}=(ba)^{-1}\;\;(2)$$

A partir de (1)-(2) de la siguiente manera

$$(1)\;a^{-1}=ab\implies a=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\stackrel{(2)}=a^{-1}b^{-1}\ldots$$