Esta pregunta está inspirada en mi respuesta a esta: Identidades / ecuaciones sorprendentes
En esa pregunta, se preguntó a la gente sobre el resultado más sorprendente que ellos sabían. Casi todos ellos citaron a alguien el resultado de otro.
Yo era uno de los únicos para responder sobre un resultado mío que me sorprendió mucho.
Por lo tanto, he decidido hacer que una pregunta por sí misma:
¿Cuál es su propio resultado matemático que te sorprendió más?
Aquí está el mío.
Considere la ecuación de la diofantina $$x(x+1)...(x+n-1) -y^n = k$$
donde $x, y, n,$ y $k$ son enteros, $x \ge 1$ , $y \ge 1$ , y $n \ge 3$ .
Me llevó a considerar la posibilidad de considerar esto tratando de generalizar la Resultado de Erdos-Selfridge que el producto de enteros consecutivos nunca podría ser un poder.
Lo expresé como "¿Qué tan cerca y con qué frecuencia puede el producto de $n$ números enteros consecutivos ser a un $n$ - ¿el poder?"
Mirando esta ecuación, parecía razonable pensar que, para el fijo $k$ y $n$ , sólo había un número finito de $x$ y $y$ que lo satisfizo. Esto no fue muy difícil de probar.
Lo que me sorprendió mucho fue que Fui capaz de probar que para cualquier $k$ , sólo había un número finito de $n$ , $x$ y $y$ que lo satisfizo.
La prueba fue así:
Primero mostré que cualquier solución debe tener $y \le |k|$ . Esto fue moderadamente sencillo, e implicaba considerar los tres casos $y < x$ , $x \le y \le x+n-1$ , y $y \ge x+n$ .
Nota: La prueba de que $y \le |k|$ se ha añadido al final.
El siguiente paso realmente me sorprendió. Mostré que $n < e|k|$ , donde $e$ es la vieja base de los logaritmos naturales.
La prueba fue sorprendentemente (para mí) simple. Desde $y \le |k|$ y $2(n/e)^n < n!$ ,
$ \begin {align} 2(n/e)^n &< n! \\ & \le x(x+1)...(x+n-1) \\ &= y^n+k \\ & \le |k|^n+|k| \\ & \le |k|^n+|k|^n \\ &= 2|k|^n \\ \end {align} $
así que $n < e |k|$ .
Todavía recuerdo que miraba esto en la incredulidad, más de cuarenta años después.
Me pidieron que mostrara mi prueba que $y \le |k|$ .
Por brevedad, Escribiré $x(x+1)...(x+n-1)$ como $x!n$ , porque esta es una generalización de factorial.
La desigualdad básica es $$(x^2+(n-1)x)^{n/2} \le x!n \le (x+(n-1)/2)^n$$
También uso dos lemas:
(L1) Si $0 < a < b$ y $n > 1$ entonces $n(b-a)a^{n-1} < b^n-a^n < n(b-a)b^{n-1}$ .
(L2) Si $a^m \leq b^m+c$ donde $a \geq 0$ , $b >0$ , $c \geq 0$ , y $m \geq 1$ , entonces $a \leq b + c/(m\,b^{m-1})$ .
La idea básica es simple: o bien $x < y < x+n-1$ o $y$ está fuera de este rango. Si $y$ está dentro del rango, entonces $y$ divide a ambos $x!n$ y $y^n$ , así que $y$ divide su diferencia, que es $k$ . Si $y$ está fuera del rango, entonces podemos usar la desigualdad básica y los lemas para derivar desigualdades muy fuertes en $x$ y $y$ .
Aquí están todos los casos.
Si $k=0$ así que $x!n = y^n$ , entonces $x < y < x+n-1$ o $x+1 < y+1 \leq x+n-1$ , para que $y+1 | x!n$ o $y+1 | y^n$ lo cual es imposible.
Si $k > 0$ , $x!n > y^n$ así que.., $y < x+(n-1)/2$ .
Si $ y > x$ entonces, como se ha dicho antes, $y | k$ .
Si $y \leq x$ Entonces $(x^2 + (n-1)x)^{n/2} \le x!n = y^n + k \le x^n + k $ o, por L2, $x^2 + (n-1)x \le x^2 + 2k/ \left (n\,x^{n-2} \right ) $ para que $ x^{n-1} \leq 2k/n(n-1). $
Por lo tanto $y \le x \le \left ( \frac {2k}{n(n-1)} \right )^{1/(n-1)}$ .
Si $k < 0$ , $x!n < y^n$ así que.., $y^2 > x^2+(n-1)x$ , lo que implica que $y > x$ .
Si $ y < x+n-1$ entonces, como se ha dicho antes, $y | |k|$ .
Si $y \geq x+n-1$ Entonces
$(x+n-1)^n \leq y^n = x!n - k = x!n + |k| \leq (x+(n-1)/2)^n + |k| $ o, por L2, $x+n-1 \leq x+(n-1)/2 + \frac {|k|}{ n(x+(n-1)/2)^{n-1} }$ o $(n-1)/2 \leq \frac {|k|} { n(x+(n-1)/2)^{n-1}} $ para que $ \left (x+(n-1)/2 \right )^{n-1} \leq \frac {2|k|}{n(n-1)}. $
Desde $y^n \leq (x + (n-1)/2))^n + |k| \leq \left ( \frac {2|k|}{n(n-1)} \right )^{n/(n-1)} + |k| \leq |k|^{n/(n-1)} + |k|, $ $ y \leq |k|^{1/(n-1)} + 1/n.$
En todos los casos, $y \le |k|$ . Cuando $y < x$ o $y \ge x+n-1$ , $y$ es significativamente más pequeño.
