¿Por qué $\bigcup \emptyset = \emptyset$ pero $\bigcap \emptyset$ no está definido?
Si tuviera que adivinar, diría que también es igual a $\emptyset$ .
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Está bien. Algunos autores lo definen así. La idea es que, si no modificamos la definición habitual, tendríamos $\bigcap\emptyset=\{y\mid \forall A\in\emptyset\,(y\in A)\}$ . Como no hay conjuntos $A$ en el conjunto vacío, el requisito $\forall A\in\emptyset\,(y\in A)$ se satisface para cualquier $y$ (es vacuamente cierto ), por lo que $\bigcap \emptyset$ sería el conjunto universal. En algunas teorías de conjuntos, el conjunto universal no existe (es una clase propia). Incluso si se trabaja en una teoría de conjuntos que permite la existencia de conjuntos universales, esto parece excesivamente inútil.
Un buen compromiso es redefinir un poco las cosas: Primero hay que tener en cuenta que (para los no vacíos $\mathcal B$ ), si $y\in\bigcap \mathcal B$ entonces para todos $A\in\mathcal B$ tenemos $y\in A$ . Así, $y\in\bigcup \mathcal B$ . Por lo tanto, tenemos la identidad $$ \bigcap \mathcal B=\{y\in\bigcup\mathcal B\mid\forall A\in \mathcal B(y\in A)\}. $$ La expresión del lado derecho tiene sentido incluso si $\mathcal B=\emptyset$ : En ese caso, $\bigcup\mathcal B=\emptyset$ , por lo que el lado derecho está vacío. Como esto parece más deseable que el conjunto de todos los conjuntos, algunos autores definen $\bigcap \mathcal B$ por la identidad mostrada. Esto no supone ninguna diferencia en general, y nos da $\bigcap \emptyset =\emptyset$ .
Dicho esto, se trata principalmente de una forma de convención, y el hecho de que llamemos a la intersección vacía vacío, conjunto universal o indefinido, no supone ninguna diferencia seria y no añade más que un par de notas a pie de página menores aquí y allá.
Wade Mealing
Puntos
111
El problema con $\bigcap\emptyset$ es que debe ser todo ya que cada $x$ es un elemento de cada elemento del conjunto vacío. Ahora bien, no existe un conjunto de todos los conjuntos, pero puede tomarse como la clase de todos los conjuntos. Sin embargo, eso suele ser inconveniente. Así que si hay un conjunto $X$ en el que todo tiene lugar, entonces se acostumbra a establecer $\bigcap\emptyset=X$ . Por ejemplo, si hablamos de un espacio topológico $X$ y requieren que el conjunto de conjuntos abiertos sea cerrado bajo intersecciones finitas, entonces tiene sentido entender esto de tal manera que implica que $\bigcap\emptyset= X$ está abierto. (Seguramente el conjunto vacío es finito).
lowglider
Puntos
562
El problema de definir $\bigcap \emptyset = \emptyset$ es que no satisface la regla, por lo demás universal, de que $$\left(\bigcap \mathcal A\right) \cap \left(\bigcap \mathcal B\right) = \bigcap \left(\mathcal A \cup \mathcal B\right).$$
En particular, la aplicación de esta regla con $\mathcal A = \emptyset$ vemos que, si $\bigcap \emptyset$ se definiera y cumpliera esta norma, tendría que ser el elemento neutro para el operador de intersección de conjuntos, es decir, el conjunto universal .
Desgraciadamente, la teoría de conjuntos ZFC estándar no tiene un conjunto universal de este tipo. Existen otras formulaciones de la teoría de conjuntos que sí incluyen un conjunto universal $\mathbf V$ y, en esas teorías de conjuntos, definir $\bigcap \emptyset = \mathbf V$ es una opción natural.
Michael Hardy
Puntos
128804
En algunos contextos $\displaystyle\bigcap_{\alpha\in\varnothing} S_\alpha$ se define como el conjunto universal --- el conjunto que contiene todo como miembro. Todo el espacio.
La razón por la que es indefinido en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y contextos similares es que no hay ningún conjunto que contenga todo el espacio.
La idea detrás de esta definición es que en expresiones como $$ A\cap B\cap C\cap\cdots\cdots, $$ cada término impone más límites a lo que puede ser un miembro del conjunto que es la intersección. Si no hay términos, entonces no hay tales límites Así que todo es un miembro.
Esto es como el hecho de que $\inf\varnothing=+\infty$ . Cada miembro de un conjunto $S\subseteq\mathbb R$ impone un límite al tamaño del ínfimo: no puede ser mayor que ese número. Si no hay miembros de $S$ entonces no hay tales límites. El ínfimo es siempre lo más grande que puede ser sujeto a esas restricciones, así que cuando todas esas restricciones desaparecen, entonces el ínfimo es infinito. Esto es útil en un contexto que se me ocurre: la distancia entre dos puntos de una variedad es el mínimo del conjunto de todas las longitudes de los caminos que los conectan. Por lo tanto, si no hay caminos que los conecten, la distancia es $+\infty$ .
Me adhiero de todo corazón a lo dicho por Ilmari Karonen.
