¿Cuáles son los "problemas técnicos" de utilizar un espacio métrico en lugar de un espacio topológico al definir una variedad abstracta? (Como en Spivak)

Question

Una cosa que me parece interesante del libro de Spivak A Comprehensive Introduction to Differential Geometry es que Spivak utiliza espacios métricos en lugar de espacios topológicos cuando define una variedad abstracta. Por ejemplo, en la página 19:

A manifiesto-con-límite es un espacio métrico $M$ con la siguiente propiedad: Si $x \in M$ entonces hay algún vecindario $U$ de $x$ y algún número entero $n \geq 0$ tal que $U$ es homeomorfo a $\mathbb R^n$ o $\mathbb H^n$ .

Munkres adopta un enfoque similar en el último capítulo de Analysis on Manifolds.

En el prefacio de la primera edición de A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Spivak afirma:

Un conocimiento de los espacios topológicos es aún mejor, ya que permite evitar los problemas técnicos que a veces se relegados a los problemas, pero me esforcé en que todo funcionara sin ella.

¿Cuáles son los "problemas técnicos" a los que se refiere Spivak aquí? ¿Y por qué Spivak ha tenido que esforzarse para que todo funcione con este enfoque?

Parece que construir la teoría utilizando la definición de espacio métrico no sería más difícil que construir la teoría utilizando la definición de espacio topológico. No veo qué dificultades adicionales podrían surgir.

Answer 1

Esto surge sobre todo cuando se construyen nuevos colectores. Es fácil definir un espacio cociente; es mucho más difícil definir un espacio métrico cociente. (Si el toroide es $[0,1] \times [0,1]$ con identificaciones de aristas adecuadas, ¿cómo se define la métrica en el cociente?)

Este ejemplo en particular es un poco falso (ver espacio métrico cociente para saber cómo obtener una métrica precisamente de este objeto) pero el espíritu está ahí.

A menudo es mucho más fácil especificar una topología que especificar una métrica, y a menudo querrás construir nuevas variedades. Por supuesto, como se señala en los comentarios de la respuesta de anomalía, los colectores topológicos (es decir, localmente euclidianos, segundo contable, Hausdorff) son siempre metrizable es que no queremos tener que hacer tanto trabajo para metrizarlos.

Answer 2

La razón principal para no incluir una métrica en la definición de la variedad diferencial es que se trata de una estructura artificial irrelevante que se abandona inmediatamente cuando se define un atlas: ¡obviamente los mapas de transición entre cartas son suaves pero definitivamente no isométricos!
En la misma línea, la categoría de las variedades lisas y la de los espacios métricos no están relacionadas por funtores naturales en ninguna de las dos direcciones.
Una cuestión más técnica es que algunas variedades simplemente no son metrizables, incluso en dimensión uno: El propio Spivak describe un ejemplo, la línea larga (Apéndice A, corolario 6).
Es cierto que tales colectores no son muy comunes, pero es muy poco estético excluirlos de la propia definición, sobre todo porque se puede empezar con colectores metrizables y después de operar sobre ellos con construcciones estándar acabar con uno no metrizable.

Answer 3

Hay dos problemas principales: Si se elimina la condición de que $M$ es un espacio métrico, entonces $M$ puede ni siquiera ser Hausdorff; el ejemplo canónico es $\mathbb{R}$ con un origen doble. Además, aunque $M$ es Hausdorff, puede no ser metrizable.

En el entorno topológico, el requisito habitual es que $M$ debe ser localmente homeomorfo a algún $\mathbb{R}^n$ (o $\mathbb{H}^n$ si permitimos las variedades con límite), y también que $M$ debe ser Hausdorff y contable en segundo lugar. Hausdorff es generalmente una buena propiedad. La segunda contrastabilidad implica la paracompacidad y, por lo tanto, la metrizabilidad, y también implica que el colector se incrusta en algún $\mathbb{R}^N$ por un argumento estándar de partición de la unidad.

No sé hasta dónde llega Spivak en el tema, pero dejar de lado la paracompacidad causa algunos problemas técnicos. Véase, por ejemplo, el libro de Milnor y Stasheff sobre las clases características, que toma medidas dolorosas para evitar la paracompacticidad por razones que realmente nunca se explican en el texto. Al tratar con variedades no compactas (las compactas son claramente paracompactas), se pueden encontrar problemas como la falta de una clase de orientación en la cohomología de Rham, fallos en la existencia del haz normal, etc. En particular, también puede impedir la existencia de una métrica riemanniana, que es probablemente a lo que se refiere Spivak.