¿Está el concepto de número imaginario impar definido/bien definido/utilizado en matemáticas? He buscado por ahí pero no he encontrado nada. Gracias.
"impar" tiene varios significados en matemáticas: tienes enteros Impares (aquellos que no son múltiplos de $2$ ); tiene funciones impar (las que satisfacen $f(-x) = -f(x)$ para todos $x$ ); y posiblemente otros.
Si quieres ceñirte a la primera acepción, hay dos cosas que debes tener en cuenta: incluso para sólo real números, "impar" en el sentido de "no un múltiplo de $2$ " no funciona muy bien, porque cada número real es un múltiplo de $2$ : dado $r\in\mathbb{R}$ , $r = 2\left(\frac{r}{2}\right)$ y $\frac{r}{2}$ es un número real. Lo mismo ocurre con los números complejos: si $a+bi\in\mathbb{C}$ entonces $a+bi = 2\left(\frac{a}{2} + \frac{b}{2}i\right)$ por lo que todo número complejo sería "un múltiplo de $2$ ", por lo que ningún número complejo sería impar. Así que este concepto no hace mucho por los números complejos en su conjunto.
Por otro lado, se puede restringir a aquellos números complejos que tienen entero parte real y compleja: $a+bi$ con $a,b\in\mathbb{Z}$ (en lugar de $a,b\in\mathbb{R}$ como en $\mathbb{C}$ ). Estos son los llamados Enteros gaussianos porque fueron estudiados por primera vez por Gauss.
Para estos números, se puede hablar de "múltiplos de $2$ ": un entero gaussiano $a+bi$ es un múltiplo de $2$ si y sólo si ambos $a$ y $b$ son pares: porque si $a+bi = 2(x+yi)$ con $a,b,x,y\in\mathbb{Z}$ entonces $a=2x$ es par y $b=2y$ también es par. Así que los "enteros gaussianos Impares" serían todos los enteros gaussianos que son no múltiplos de $2$ , es decir, el $a+bi$ que tienen o bien $a$ o $b$ impar. Tenga en cuenta que $1$ sería un "entero gaussiano impar" (que se ve bien, porque $1$ es un entero impar), pero también lo sería $1+2i$ (que puede no parecer tan bueno).
También hay una pequeña arruga: en los enteros, si se suman dos enteros de la misma paridad, siempre se obtendrá algo que sea "par", y si se suman dos enteros de diferente paridad se obtendrá algo que sea "impar". Esto no ocurre con la noción anterior de "par" en los enteros gaussianos. Por ejemplo, $1+2i$ es "impar", y también lo es $2+i$ si los sumamos, obtenemos $3+3i$ que es también "impar". De hecho, tenemos cuatro tipos diferentes de enteros gaussianos: los "pares" (tanto la parte real como la imaginaria son pares); los "pares-impar" (parte real par, parte imaginaria impar); los "impar-par" (parte real impar, parte imaginaria par); y los "impar" (tanto la parte real como la imaginaria impar). Sólo si se suman dos de las mismas amable que obtendrás una gaussiana "par", y si sumas dos tipos diferentes obtendrás una gaussiana "impar". Así que este concepto de "par" e "impar" no parece comportarse como lo hace en los enteros. Añadido. Lo que es peor, como señala Bill en los comentarios, ni siquiera esto funciona bien con la multiplicación, ya que, por ejemplo, el producto de un "impar-par" por un "impar-par" da un "impar-par", no un "impar-par".
Por lo tanto, podríamos considerar otra posibilidad.
Otra posibilidad es observar que $2i = (1+i)^2$ y $i$ es invertible en los enteros de Gauss. Así que en lugar de mirar los múltiplos de $2$ puede tratar de buscar los múltiplos de $1+i$ (al igual que no se define "impar" en términos de múltiplos de $4$ en los números enteros; yo saco a relucir $4$ porque $4=2^2$ ). Cuando un entero gaussiano es múltiplo de $1+i$ ? $$(x+yi)(1+i) = (x-y) + (x+y)i.$$ ¿Podemos reconocer estos números? Afirmo que son precisamente esos enteros gaussianos $a+bi$ con $a+b$ incluso.
De hecho, si $a+bi$ es un múltiplo de $1+i$ Entonces, como en el caso anterior, tenemos $a=x-y$ y $b=x+y$ para algunos enteros $x$ y $y$ Así que $a+b = (x-y)+(x+y) = 2x$ está en paz. A la inversa, supongamos que $a+bi$ tiene $a+b$ incluso, $a+b = 2k$ . Entonces $a-b$ también es par (ya que $a-b = (a+b)-2b$ ), por lo que podemos escribir $a-b = 2\ell$ . Entonces \begin {align*} (k - \ell i)(1+i) &= (k+ \ell ) + (k- \ell )i \\ &= \left ( \frac {a+b}{2} + \frac {a-b}{2} \right ) + \left ( \frac {a+b}{2} - \frac {a-b}{2} \right )i \\ &= a + bi, \end {align*} así que $a+bi$ es un múltiplo de $1+i$ . Por lo tanto, si se define "impar" en términos de "múltiplo de $1+i$ , entonces corresponde precisamente a si $a\equiv b\pmod{2}$ : si $a$ y $b$ tienen la misma paridad, entonces $a+bi$ es "par"; si $a$ y $b$ tienen una paridad diferente entonces $a+bi$ es "impar".
También tiene la ventaja de reflejar un poco mejor lo que ocurre con la paridad en los enteros: si se suman dos enteros gaussianos "pares" o dos enteros "Impares" (según esta definición), la suma es "par"; y si se suman un entero gaussiano "par" y uno "impar" se obtiene un entero gaussiano "impar". Además, si se multiplica una gaussiana "par" por cualquier gaussiana se obtiene una gaussiana "par": pues si $a$ y $b$ tienen la misma paridad, entonces $$(a+bi) (x+yi) = (ax-by) + (ay+bx)i.$$ Si ambos $a$ y $b$ son pares, entonces también lo son $ax-by$ y $ay+bx$ para que el resultado sea parejo. Si ambos $a$ y $b$ son impar, entonces $x$ y $y$ tienen la misma paridad, en cuyo caso ambos $ax-by$ y $ay+bx$ son pares; o bien $x$ y $y$ tienen diferente paridad, por lo que ambos $ax-by$ y $ay+bx$ son impar. En cualquier caso, el producto es "par". Del mismo modo, si se multiplican dos gaussianos "Impares", el resultado será "impar".
Así que creo que este último concepto es un poco más intuitivo, pero puede que sólo sea yo.
Datos del puesto. De hecho, hay un montón de cosas muy interesantes en el fondo de lo anterior; teniendo en cuenta $1+i$ en lugar de $2$ en los enteros de Gauss viene de Teoría algebraica de los números .
Si aceptas la definición de Arturo como impar $a+b$ (lo cual tiene sentido para mí) los Impares son de un color de un tablero de ajedrez y los pares son del otro.
El contenido perspicaz y bien secuenciado de los posts del Sr. M es bonito increíble. El cantidad ¡de respuestas me deja boquiabierto! Eres un verdadero embajador. (+1, obviamente)
Como mencioné en un entrada anterior al echar los nueves, se puede aplicar paridad argumentos en cualquier anillo que tenga $\ \mathbb Z/2\ $ como imagen, por ejemplo, todos los racionales con denominador impar, o los enteros de Gauss $\rm\:\mathbb Z[i]\:$ donde la imagen $\rm\ \mathbb Z[i]/(2,i-1) \cong \mathbb Z/2\ $ se obtiene la definición de paridad natural que $\rm\ a+b\:i\ $ es par si $\rm\ a\equiv b\ \ (mod\ 2)\ $ es decir, si $\rm\ a+b\:i\ $ mapas a $\:0\:$ a través del isomorfismo anterior, que mapea $\rm\ 2\to 0,\ i\to 1\:$ .
Generalmente es fácil demostrar que si $\rm\:2\nmid f(x)\not\in\mathbb Z\:$ entonces el número de formas de definir la paridad en el anillo $\rm\ \mathbb Z[w] \cong \mathbb Z[x]/(f(x))\ $ viene dado por el número de raíces de $\rm\: f(x)\: $ modulo $2\:.\ $ Pues supongamos que existe un homomorfismo $\rm\ h\: :\: \mathbb Z[w]\to \mathbb Z/2\:.\:$ Entonces $\rm\:w\:$ debe corresponder a una raíz de $\rm\:f(x)\:$ en $\rm\ \mathbb Z/2\:.\ $ Por lo tanto, si $\rm\ f(0)\equiv 0\ (mod\ 2)\ $ entonces $\rm\: \mathbb Z[w]/(2,w) \cong \mathbb Z[x]/(2,x,f(x)) \cong \mathbb Z/2\ $ desde $\rm\: x\: |\: f(x)\ (mod\ 2)\:.\: $ Del mismo modo, si $\rm\ f(1)\equiv 0\ (mod\ 2)\ $ entonces $\rm\: \mathbb Z[w]/(2,w-1) \cong \mathbb Z[x]/(2,x-1,f(x)) \cong \mathbb Z/2\ $ desde $\rm\: x-1\: |\: f(x)\ (mod\ 2)\:. $
Veamos algunos ejemplos sencillos. Como $\rm\ x^2+1\ $ tiene la única raíz $\rm\ x\equiv 1\ (mod\ 2)\:,\:$ los enteros gaussianos $\rm\ \mathbb Z[i]\cong \mathbb Z[x]/(x^2+1)\ $ tienen una única definición de paridad - con $\rm\:i\:$ siendo impar. Desde $\rm\ x^2+x+1\ $ no tiene raíces en el módulo $\: 2\:,\: $ no hay manera de definir la paridad para los enteros de Eisenstein $\rm\ \mathbb Z[w] \cong \mathbb Z[x]/(x^2+x+1)\:.\ $ De hecho, desde $\rm\ w^3 = 1\ $ deducimos que $\rm\: w \equiv 1\ (mod\ 2)\ $ contra $\rm\ w^2+w+1 = 0\:.\ $ Por otro lado $\rm\ \mathbb Z[w] \cong \mathbb Z[x]/(x^2+x+2)\ $ tiene dos estructuras de paridad ya que ambos $\:0\:$ y $\rm\:1\:$ son raíces de $\rm\ x^2 + x + 2\ $ modul0 $\rm\:2\:,\:$ por lo que podemos definir $\rm\:w\:$ para ser par o impar.
Cualquier argumento de paridad que sea realmente teórico del anillo se generalizará a cualquier anillo $\rm\:R\:$ con paridad, por ejemplo
PRUEBA DE RAÍZ DE PARIDAD $\ $ Supongamos que $\rm\:f(x)\:$ es un polinomio con coeficientes en un anillo $\rm\:R\:$ con paridad. Entonces $\rm\:f(x)\:$ no tiene raíces en $\rm\:R\:$ si $\rm\:f(x)\:$ tiene coeficiente constante y suma de coeficientes siendo ambos impar. Además, $\rm\:f(x)\:$ no tiene raíces en el campo de fracciones de $\rm\:R\:$ si $\rm\:R\:$ es un dominio y el coeficiente principal de $\rm\:f(x)\:$ es impar, y $\:0\:$ es el único elemento de $\rm\:R\:$ que es divisible por potencias arbitrariamente grandes de $\:2\:.$
Prueba $\ $ La prueba simplemente verifica $\rm\ f(0)\: =\: f(1)\: =\: 1\:\ (mod\ 2)\:,\ $ es decir $\rm\: f(x)\:$ no tiene raíces $\rm\: (mod\ 2)\:.\ $ Por lo tanto, $\rm\:f(x)\:$ no tiene raíces en $\rm\:R\:.\:$ Para el caso fraccionario, por la hipótesis, podemos cancelar potencias a partir de una fracción $\rm\:a/b\:$ hasta $\rm\:a,b\:$ no son ambos pares. Si $\rm\:b\:$ es impar entonces $\rm\:a/b\equiv a\pmod{2}\:$ sería una raíz, por lo que $\rm\:b\:$ es par y $\rm\:a\:$ es impar. Entonces $\rm\:0 = b^n\:f(a/b) = f_n a^n + b\:(\cdots) \equiv 1\pmod{2}\:,\:$ una contradicción, ya que el coeficiente principal $\rm\:f_n\:$ y $\rm\:a\:$ son tanto impar como $\rm\:b\:$ está en paz.
Como corolario, deducimos que ningún anillo $\rm\:R\:$ con paridad contiene una raíz cúbica primitiva de uno. De hecho, si es así, $\rm\:R\:$ contiene una raíz de $\rm\ f(x) = x^2+x+1\:,\ $ contra $\rm\:f(x)\:$ no tiene raíces en $\rm\:R\:$ por la prueba de raíz de paridad. Así, por ejemplo, los enteros gaussianos no contienen una raíz cúbica primitiva de uno.
Me gustan los ejemplos negativos sin versión (simple) de paridad. Tal vez sea bueno mencionar las palabras algebraicas: si 2 es inerte, se necesitan 4 tipos (no sólo par e impar), si 2 ramifica se obtiene una única definición natural de paridad, y si 2 se divide se obtienen dos definiciones contradictorias pero naturales de paridad.
@Jack: Siempre estoy corto de $\rm\:\mathbb Z$ 's ... Intenté no ponerme demasiado técnico, ya que parece que esos mensajes no se leen.
Los conceptos de "par" o "impar" provienen de la estructura ideal del anillo de los enteros (no estoy seguro de que esto signifique algo para usted). En los enteros, los números se clasifican como "pares" si su imagen en $\mathbb{Z}/(2)$ es $0$ e "impar" si es 1. El concepto más útil de "par" o "impar" en los enteros de Gauss sería clasificar los enteros de Gauss por su imagen en $(\mathbb{Z}+\mathbb{Z}i)/(2)$ . Esto llevaría a cuatro posibilidades: números con ambas partes pares, números con parte real par y parte imaginaria impar, números con parte real impar y parte imaginaria par, y números con ambas partes impar.
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Podrías buscar en los enteros de Gauss. Son números complejos $z=x+iy$ con $x,y \in \mathbb{Z}$ . Ciertamente se puede mirar la paridad de $x$ y $y$ .
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He intentado calcular manualmente e^i pi, y *ODDLY No encuentro el 0. ¿Por qué?
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@gokoon, $$e^{i\pi}=cos(\pi) + isin(\pi)=1 + 0i=1$$ Así que tal vez quieras que el cero entre cuando lo expreses como $$e^{i\pi} - 1 = 0$$ .
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Oh, sí, gracias. Los números imaginarios son complicados...