$\arctan$ de una raíz cuadrada como un racional múltiples de $\pi$

Question

Sé que si $x$ es un racional múltiples de $\pi$, $\tan(x)$ es algebraica.

Hay una manera simple de expresar $x$ $\pi\frac{m}{n}$ si $\tan(x)$ es dado como una raíz cuadrada de un racional?

Answer 1

La respuesta es NO, en general : a la inversa de su declaración no se sostiene. Por ejemplo, si $\tan(x)=\sqrt{2}$ $2\cos(x)=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}$ que es algebraico, pero no es un entero algebraico, por lo $x$ no puede ser racional múltiples de $\pi$ (véase la primera respuesta a esa relacionados con la pregunta , por ejemplo).

Si $\tan(x)=\sqrt{\frac{p}{q}}$ donde $p$ $q$ son coprime enteros positivos, tendrás $2\cos(x)=\pm \sqrt{\frac{4q}{p+q}}$, y este será un entero algebraico iff $p+q$ divide $4q$, iff $p+q$ divide $4$ (desde $p+q$ es coprime a $q$), iff $p+q$ es uno de $1,2$ o $4$, iff $(p,q)$ es uno de $(1,1),(1,3)$ o $(3,1)$.

Answer 2

La teoría completa de forma análoga a la de la racional tangentes se trabajó en

En los Ángulos Cuyo Cuadrado Funciones Trigonométricas son Racionales
por John H. Conway, Charles Radin, Lorenzo Sadun
http://arxiv.org/abs/math-ph/9812019