Como yo, yo estaba jugando y me dije a mí mismo esta simple cosa:
$3^2 + 4^2 = 5^2$
Pensé que esto es sólo de Pitágoras triplete secuencial de los números enteros. Sé que no hay otros, y no hay otros a los poderes superiores debido a Último Teorema de Fermat. Sin embargo, hay muchos que pueden ser aproximadas.
$5^3 + 6^3 = 341 ≈ 7^3$
$7^4 + 8^4 = 6479 ≈ 9^4$
$9^5 + 10^5 = 159049 ≈ 11^5$
Como usted puede ver, hay un patrón que se registran en el formulario de:
$(2n-1)^n + (2n)^n ≈ (2n + 1)^n \{n ∈ ℤ+; n > 0\}$
También parece que el que si reorganizar la ecuación y tomar el límite en +∞:
$\lim_{n\to +\infty} { [(2n-1)^n + (2n)^n]^{1/n} - (2n + 1) } = 2ln(1 + e^{1/2}) - 2 ≈ -0.051846 $ (Calculado con Wolfram|Alpha)
Esto ha sido notado antes; si es así, hay una prueba o es esta la prueba?
