Demostrando un número definido por una secuencia es un número cuadrado

Question

He encontrado este problema en matemáticas de la revista:

Dada la secuencia $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definido por: $$ x_0 = 0\\ x_1 = 1\\ x_{n+2}+x_{n+1}+2x_{n}=0 $$ Demostrar que $s_n = 2^{n+1}-7x_{n-1}^2, n > 0$ es un número cuadrado.

He intentado buscar una regla entre los números de la secuencia y los números al cuadrado ($s_n$) formado: $$ x_2=-1\\ x_3=-1\\ x_4=3\\ x_5=-1\\ x_6=-5\\ x_7=7\\ x_8=3\\ x_9=-17\\ $$ $$ s_1 = 2^2\\ s_2 = 1^2\\ s_3 = 3^2\\ s_4 = 5^2\\ s_5 = 1^2\\ s_6 = 11^2\\ s_7 = 9^2\\ $$ Si me reescribir la regla y de la plaza: $$ x_{n-1} = -x_{n-2}-2x_{n-3}, n > 3\\ x_{n-1}^2=x_{n-2}^2 + 4x_{n-3}^2 + 4x_{n-2}x_{n-3}\\ $$ aplicar para los próximos dos, $x_{n-2}$, $x_{n-3}$ la misma regla: $$ x_{n-2}^2=x_{n-3}^2 + 4x_{n-4}^2 + 4x_{n-3}x_{n-4}\\ x_{n-3}^2=x_{n-4}^2 + 4x_{n-5}^2 + 4x_{n-4}x_{n-5}\\ $$ sustituto: $$ x_{n-1}^2=x_{n-3}^2 + 4x_{n-4}^2 + 4x_{n-3}x_{n-4}+4x_{n-3}^2 + 4x_{n-2}x_{n-3}\\ x_{n-1}^2=5x_{n-3}^2 + 4x_{n-4}^2 + 4x_{n-2}x_{n-3} + 4x_{n-3}x_{n-4} \\ x_{n-1}^2=5(x_{n-4}^2 + 4x_{n-5}^2 + 4x_{n-4}x_{n-5}) + 4x_{n-4}^2 + 4x_{n-2}x_{n-3} + 4x_{n-3}x_{n-4}\\ x_{n-1}^2=9x_{n-4}^2 + 20x_{n-5}^2 + 4x_{n-2}x_{n-3} + 4x_{n-3}x_{n-4} + 20x_{n-4}x_{n-5}\\ $$ Parece conducir a un callejón sin salida.

Una ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Esto puede ser un poco de fuerza bruta, pero es una solución:

Si estás familiarizado con la resolución de recurrencias lineales, usted sabrá que usted puede escribir una fórmula para la $x_n$ de la forma $$x_n = A\lambda_+^n + B\lambda_-^n,$$ where $Un$ and $B$ are constants and the $\lambda_\pm$ are the roots of the polynomial $x^2 + x + 2$, that is, $$\lambda_\pm = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2}.$$ Using the initial conditions $x_0 = 0$ and $x_1 = 1$, you can solve for the constants $A$ and $B$:$$ A = -B = \frac{-i}{\sqrt{7}}.$$ This then gives the explicit formula for the $x_n$:$$ x_n = \frac{-i}{\sqrt{7}}(\lambda_+^n - \lambda_-^n).$$ Now one has $$s_n = 2^{n+1} - 7x_{n-1}^2 = 2^{n+1} + (\lambda_+^{n-1} - \lambda_-^{n-1})^2 = 2^{n+1} + \lambda_+^{2(n-1)} + \lambda_-^{2(n-1)} - 2(\lambda_+\lambda_-)^{n-1}.$$ Using the fact that $\lambda_+\lambda_- = 2$, this becomes $$s_n = \lambda_+^{2(n-1)} + \lambda_-^{2(n-1)} + 2^n.$$ But then we can use $\lambda_+\lambda_- = 2$ again to write $$s_n = \lambda_+^{2(n-1)} + \lambda_-^{2(n-1)} + 2(\lambda_+\lambda_-)^{n-1} = (\lambda_+^{n-1} + \lambda_-^{n-1})^2.$$ Now it only remains to show that $\lambda_+^{n-1} + \lambda_-^{n-1}$ is an integer. Define $\alpha_n = \lambda_+^n + \lambda_-^n$ for each $n$. Then $\alpha_0 = 2$, $\alpha_1 = -1$, and $\alpha_{n+2} + \alpha_{n+1} + 2\alpha_n = 0$ for each $n\geq 2$, so $\alpha_n$ is an integer for all $$ n. Esto completa la prueba.