Solución particular a un % de la ecuación de Riccati $y' = 1 + 2y + xy^2$

Question

La ecuación es $y' = 1 + 2y + xy^2$.

He intentado $mx+n$, $ax^m$, incluso $\tan x$ como candidatos para la solución particular donde $a,m,n \in \mathbb Q$, pero no funcionó. ¿Puede alguien encontrar una solución particular?

No es tarea. Gracias de antemano.

Answer 1

Enfoque de $1$:

Deje $y=-\dfrac{u'}{xu}$ ,

A continuación, $y'=-\dfrac{u''}{xu}+\dfrac{u'}{x^2u}+\dfrac{(u')^2}{xu^2}$

$\therefore-\dfrac{u''}{xu}+\dfrac{u'}{x^2u}+\dfrac{(u')^2}{xu^2}=1-\dfrac{2u'}{xu}+\dfrac{(u')^2}{xu^2}$

$\dfrac{u''}{xu}-\dfrac{2u'}{xu}-\dfrac{u'}{x^2u}+1=0$

$xu''-(2x+1)u'+x^2u=0$

da un 2º orden lineal de la educación a distancia que es muy difícil de resolver, como http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode-toc2.htm no puede encontrar cualquiera de las formas que se ajusta a esta ODA, y el núcleo método no se puede aplicar directamente como algunos de los coeficientes tienen funciones no lineales, incluso usando el método de Frobenius se vuelven problemáticos ya que ello implica la solución de relaciones de recurrencia lineales con más de dos términos y con los coeficientes de la variable.

Así que podemos hacer la comparación con otro enfoque, como todas las ecuaciones de Riccati con la variable dependiente $y$ tienen una interesante propiedad de que la sustitución de $y=\dfrac{1}{u}$ le trae las ecuaciones de Riccati para las ecuaciones de Riccati de nuevo, pero los coeficientes se reorganizan.

Enfoque de $2$:

Deje $y=\dfrac{1}{u}$ ,

A continuación, $y'=-\dfrac{u'}{u^2}$

$\therefore-\dfrac{u'}{u^2}=1+\dfrac{2}{u}+\dfrac{x}{u^2}$

$u'=-u^2-2u-x$

Deje $u=\dfrac{v'}{v}$ ,

A continuación, $u'=\dfrac{v''}{v}-\dfrac{(v')^2}{v^2}$

$\therefore\dfrac{v''}{v}-\dfrac{(v')^2}{v^2}=-\dfrac{(v')^2}{v^2}-\dfrac{2v'}{v}-x$

$\dfrac{v''}{v}+\dfrac{2v'}{v}+x=0$

$v''+2v'+xv=0$

El 2do orden lineal de la educación a distancia obtenida por el Enfoque de $2$ por supuesto es mucho más fácil de resolver que el obtenido por el Enfoque de $1$, por tanto, adoptar el Enfoque de $2$.

De hecho, esta ODA puede ser resuelto mediante el método kernel:

Deje $v=\int_Ce^{xs}K(s)~ds$ ,

A continuación, $(\int_Ce^{xs}K(s)~ds)''+2(\int_Ce^{xs}K(s)~ds)'+x\int_Ce^{xs}K(s)~ds=0$

$\int_Cs^2e^{xs}K(s)~ds+2\int_Cse^{xs}K(s)~ds+\int_Ce^{xs}K(s)~d(xs)=0$

$\int_C(s^2+2s)e^{xs}K(s)~ds+\int_CK(s)~d(e^{xs})=0$

$\int_C(s^2+2s)e^{xs}K(s)~ds+[e^{xs}K(s)]_C-\int_Ce^{xs}~d(K(s))=0$

$\int_C(s^2+2s)e^{xs}K(s)~ds+[e^{xs}K(s)]_C-\int_Ce^{xs}K'(s)~ds=0$

$[e^{xs}K(s)]_C-\int_C(K'(s)-(s^2+2s)K(s))e^{xs}~ds=0$

$\therefore K'(s)-(s^2+2s)K(s)=0$

$K'(s)=(s^2+2s)K(s)$

$\dfrac{K'(s)}{K(s)}=s^2+2s$

$\int\dfrac{K'(s)}{K(s)}ds=\int(s^2+2s)~ds$

$\ln K(s)=\dfrac{s^3}{3}+s^2+c_1$

$K(s)=ce^{\frac{s^3}{3}+s^2}$

$\therefore v=\int_Cce^{\frac{s^3}{3}+s^2+xs}~ds$

Pero desde el anterior procedimiento adecuado para cualquier número complejo a $s$ ,

$\therefore v_n=\int_{a_n}^{b_n}c_ne^{\frac{((p_n+q_ni)t)^3}{3}+((p_n+q_ni)t)^2+x(p_n+q_ni)t}~d((p_n+q_ni)t)$

$=(p_n+q_ni)c_n\int_{a_n}^{b_n}e^{\frac{(p_n^3+3p_n^2q_ni-3p_nq_n^2-q_n^3i)t^3}{3}+(p_n^2+2p_nq_ni-q_n^2)t^2+(p_n+q_ni)xt}~dt$

$=(p_n+q_ni)c_n\int_{a_n}^{b_n}e^{\frac{(p_n^2-3q_n^2)p_nt^3}{3}+(p_n^2-q_n^2)t^2+p_nxt}e^{\left(\frac{(3p_n^2-q_n^2)q_nt^3}{3}+2p_nq_nt^2+q_nxt\right)i}~dt$

Para algunos $x$independiente del número real de opciones de $a_n$ , $b_n$ , $p_n$ y $q_n$ tal forma que:

$\lim\limits_{t\to a_n}e^{\frac{(p_n^2-3q_n^2)p_nt^3}{3}+(p_n^2-q_n^2)t^2+p_nxt}e^{\left(\frac{(3p_n^2-q_n^2)q_nt^3}{3}+2p_nq_nt^2+q_nxt\right)i}$

$=\lim\limits_{t\to b_n}e^{\frac{(p_n^2-3q_n^2)p_nt^3}{3}+(p_n^2-q_n^2)t^2+p_nxt}e^{\left(\frac{(3p_n^2-q_n^2)q_nt^3}{3}+2p_nq_nt^2+q_nxt\right)i}$

$\int_{a_n}^{b_n}e^{\frac{(p_n^2-3q_n^2)p_nt^3}{3}+(p_n^2-q_n^2)t^2+p_nxt}e^{\left(\frac{(3p_n^2-q_n^2)q_nt^3}{3}+2p_nq_nt^2+q_nxt\right)i}~dt$ converge

Para $n=1$, la mejor opción es $a_1=-\infty$ , $b_1=\infty$ , $p_1=0$ , $q_1=-1$

$\therefore v_1=-ic_1\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}e^{\left(\frac{t^3}{3}-xt\right)i}~dt$

$=-ic_1\left(\int_{-\infty}^0e^{-t^2}e^{\left(\frac{t^3}{3}-xt\right)i}~dt+\int_0^\infty e^{-t^2}e^{\left(\frac{t^3}{3}-xt\right)i}~dt\right)$

$=-ic_1\left(\int_\infty^0e^{-(-t)^2}e^{\left(\frac{(-t)^3}{3}-x(-t)\right)i}~d(-t)+\int_0^\infty e^{-t^2}e^{\left(\frac{t^3}{3}-xt\right)i}~dt\right)$

$=-ic_1\left(\int_0^\infty e^{-t^2}e^{\left(-\frac{t^3}{3}+xt\right)i}~dt+\int_0^\infty e^{-t^2}e^{\left(\frac{t^3}{3}-xt\right)i}~dt\right)$

$=-ic_1\left(\int_0^\infty e^{-t^2}e^{-\left(\frac{t^3}{3}-xt\right)i}~dt+\int_0^\infty e^{-t^2}e^{\left(\frac{t^3}{3}-xt\right)i}~dt\right)$

$=C_1\int_0^\infty e^{-t^2}\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt$

Comprobación:

$\left(C_1\int_0^\infty e^{-t^2}\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt\right)''+2\left(C_1\int_0^\infty e^{-t^2}\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt\right)'+xC_1\int_0^\infty e^{-t^2}\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt$

$=-C_1\int_0^\infty t^2e^{-t^2}\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt+2C_1\int_0^\infty te^{-t^2}\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt+C_1\int_0^\infty xe^{-t^2}\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt$

$=-C_1\int_0^\infty(t^2-x)e^{-t^2}\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt+C_1\int_0^\infty2te^{-t^2}\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt$

$=-C_1\int_0^\infty e^{-t^2}\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)d\left(\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)\right)+C_1\int_0^\infty2te^{-t^2}\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt$

$=-C_1\int_0^\infty e^{-t^2}~d\left(\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)\right)+C_1\int_0^\infty2te^{-t^2}\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt$

$=-C_1\left[e^{-t^2}\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)\right]_0^\infty+C_1\int_0^\infty\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)d\left(e^{-t^2}\right)+C_1\int_0^\infty2te^{-t^2}\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt$

$=-C_1\int_0^\infty2te^{-t^2}\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt+C_1\int_0^\infty2te^{-t^2}\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt$

$=0$ , correcto!

Para $n=2$, por desgracia, ninguna de estas combinaciones de $a_n$ , $b_n$ , $p_n$ y $q_n$ puede satisfacer las condiciones anteriores.

Por lo que aplicar otro tipo de elección:

$v_n=C_n\biggl(k_1\int_{a_{n,1}}^{b_{n,1}}e^{\frac{(p_{n,1}^2-3q_{n,1}^2)p_{n,1}t^3}{3}+(p_{n,1}^2-q_{n,1}^2)t^2+p_{n,1}xt}e^{\Bigl(\frac{(3p_{n,1}^2-q_{n,1}^2)q_{n,1}t^3}{3}+2p_{n,1}q_{n,1}t^2+q_{n,1}xt\Bigr)i}~dt+k_2\int_{a_{n,2}}^{b_{n,2}}e^{\frac{(p_{n,2}^2-3q_{n,2}^2)p_{n,2}t^3}{3}+(p_{n,2}^2-q_{n,2}^2)t^2+p_{n,2}xt}e^{\Bigl(\frac{(3p_{n,2}^2-q_{n,2}^2)q_{n,2}t^3}{3}+2p_{n,2}q_{n,2}t^2+q_{n,2}xt\Bigr)i}~dt\biggr)$

Para algunos $x$independiente de la constante de opciones de $k_1$ $k_2$ reales y el número de opciones de $a_{n,1}$ , $b_{n,1}$ , $p_{n,1}$ , $q_{n,1}$ , $a_{n,2}$ , $b_{n,2}$ , $p_{n,2}$ y $q_{n,2}$ tal forma que:

$\lim\limits_{t\to a_{n,1}}e^{\frac{(p_{n,1}^2-3q_{n,1}^2)p_{n,1}t^3}{3}+(p_{n,1}^2-q_{n,1}^2)t^2+p_{n,1}xt}e^{\Bigl(\frac{(3p_{n,1}^2-q_{n,1}^2)q_{n,1}t^3}{3}+2p_{n,1}q_{n,1}t^2+q_{n,1}xt\Bigr)i}$ $x$- independiente

$\lim\limits_{t\to b_{n,1}}e^{\frac{(p_{n,1}^2-3q_{n,1}^2)p_{n,1}t^3}{3}+(p_{n,1}^2-q_{n,1}^2)t^2+p_{n,1}xt}e^{\Bigl(\frac{(3p_{n,1}^2-q_{n,1}^2)q_{n,1}t^3}{3}+2p_{n,1}q_{n,1}t^2+q_{n,1}xt\Bigr)i}$ $x$- independiente

$\int_{a_{n,1}}^{b_{n,1}}e^{\frac{(p_{n,1}^2-3q_{n,1}^2)p_{n,1}t^3}{3}+(p_{n,1}^2-q_{n,1}^2)t^2+p_{n,1}xt}e^{\Bigl(\frac{(3p_{n,1}^2-q_{n,1}^2)q_{n,1}t^3}{3}+2p_{n,1}q_{n,1}t^2+q_{n,1}xt\Bigr)i}~dt$ converge

$\lim\limits_{t\to a_{n,2}}e^{\frac{(p_{n,2}^2-3q_{n,2}^2)p_{n,2}t^3}{3}+(p_{n,2}^2-q_{n,2}^2)t^2+p_{n,2}xt}e^{\Bigl(\frac{(3p_{n,2}^2-q_{n,2}^2)q_{n,2}t^3}{3}+2p_{n,2}q_{n,2}t^2+q_{n,2}xt\Bigr)i}$ $x$- independiente

$\lim\limits_{t\to b_{n,2}}e^{\frac{(p_{n,2}^2-3q_{n,2}^2)p_{n,2}t^3}{3}+(p_{n,2}^2-q_{n,2}^2)t^2+p_{n,2}xt}e^{\Bigl(\frac{(3p_{n,2}^2-q_{n,2}^2)q_{n,2}t^3}{3}+2p_{n,2}q_{n,2}t^2+q_{n,2}xt\Bigr)i}$ $x$- independiente

$\int_{a_{n,2}}^{b_{n,2}}e^{\frac{(p_{n,2}^2-3q_{n,2}^2)p_{n,2}t^3}{3}+(p_{n,2}^2-q_{n,2}^2)t^2+p_{n,2}xt}e^{\Bigl(\frac{(3p_{n,2}^2-q_{n,2}^2)q_{n,2}t^3}{3}+2p_{n,2}q_{n,2}t^2+q_{n,2}xt\Bigr)i}~dt$ converge

Para $n=2$, la mejor opción es $a_{2,1}=0$ , $b_{2,1}=\infty$ , $p_{2,1}=-1$ , $q_{2,1}=0$ , $a_{2,2}=0$ , $b_{2,2}=\infty$ , $p_{2,2}=0$ , $q_{2,2}=-1$

$\therefore v_2=C_2\biggl(k_1\int_0^\infty e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}~dt+k_2\int_0^\infty e^{-t^2}e^{\left(\frac{t^3}{3}-xt\right)i}~dt\biggr)$

$=C_2\int_0^\infty\biggl(k_1e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}+k_2e^{-t^2}\cos\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)+k_2ie^{-t^2}\sin\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)\biggr)dt$

$\because\left(\int_0^\infty e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}~dt\right)''+2\left(\int_0^\infty e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}~dt\right)'+x\int_0^\infty e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}~dt$

$=\int_0^\infty t^2e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}~dt-2\int_0^\infty te^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}~dt+\int_0^\infty xe^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}~dt$

$=\int_0^\infty(t^2-2t+x)e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}~dt$

$=-\int_0^\infty e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}~d\biggl(-\dfrac{t^3}{3}+t^2-xt\biggr)$

$=-\left[e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}\right]_0^\infty$

$=1$

$\because\left(\int_0^\infty e^{-t^2}\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt\right)''+2\left(\int_0^\infty e^{-t^2}\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt\right)'+x\int_0^\infty e^{-t^2}\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt$

$=-\int_0^\infty t^2e^{-t^2}\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt-2\int_0^\infty te^{-t^2}\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt+\int_0^\infty xe^{-t^2}\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt$

$=-\int_0^\infty(t^2-x)e^{-t^2}\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt-\int_0^\infty2te^{-t^2}\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt$

$=-\int_0^\infty e^{-t^2}\sin\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)d\left(\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)\right)-\int_0^\infty2te^{-t^2}\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt$

$=\int_0^\infty e^{-t^2}~d\left(\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)\right)-\int_0^\infty2te^{-t^2}\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt$

$=\left[e^{-t^2}\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)\right]_0^\infty-\int_0^\infty\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)d\left(e^{-t^2}\right)-\int_0^\infty2te^{-t^2}\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt$

$=-1+\int_0^\infty2te^{-t^2}\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt-\int_0^\infty2te^{-t^2}\cos\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)dt$

$=-1$

$\therefore$ elija $k_1=1$ $k_2=-i$

Por lo tanto $v_2=C_2\int_0^\infty\biggl(e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}-ie^{-t^2}\cos\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)+e^{-t^2}\sin\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)\biggr)dt$

Por lo tanto $v=C_1\int_0^\infty e^{-t^2}\cos\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)dt+C_2\int_0^\infty\biggl(e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}-ie^{-t^2}\cos\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)+e^{-t^2}\sin\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)\biggr)dt=C_1\int_0^\infty e^{-t^2}\cos\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)dt+C_2\int_0^\infty\biggl(e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}+e^{-t^2}\sin\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)\biggr)dt$

$\therefore y=\dfrac{C_1\int_0^\infty e^{-t^2}\cos\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)dt+C_2\int_0^\infty\biggl(e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}+e^{-t^2}\sin\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)\biggr)dt}{\left(C_1\int_0^\infty e^{-t^2}\cos\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)dt+C_2\int_0^\infty\biggl(e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}+e^{-t^2}\sin\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)\biggr)dt\right)'}$

$y=\dfrac{C_1\int_0^\infty e^{-t^2}\cos\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)dt+C_2\int_0^\infty\biggl(e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}+e^{-t^2}\sin\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)\biggr)dt}{C_1\int_0^\infty te^{-t^2}\sin\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)dt-C_2\int_0^\infty\biggl(te^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}+te^{-t^2}\cos\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)\biggr)dt}$

$y=\dfrac{\int_0^\infty e^{-t^2}\cos\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)dt+\dfrac{C_2}{C_1}\int_0^\infty\biggl(e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}+e^{-t^2}\sin\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)\biggr)dt}{\int_0^\infty te^{-t^2}\sin\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)dt-\dfrac{C_2}{C_1}\int_0^\infty\biggl(te^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}+te^{-t^2}\cos\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)\biggr)dt}$

$y=\dfrac{\int_0^\infty e^{-t^2}\cos\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)dt+C\int_0^\infty\biggl(e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}+e^{-t^2}\sin\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)\biggr)dt}{\int_0^\infty te^{-t^2}\sin\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)dt-C\int_0^\infty\biggl(te^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}+te^{-t^2}\cos\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)\biggr)dt}$

Answer 2

Este vínculo solucionarlo. Las soluciones generales de Oda lineal y ecuación de Riccati http://arxiv.org/abs/1006.4804