¿Demostración de las operaciones de fila elementales para las matrices?

Question

Estoy tomando un curso de Álgebra Lineal, y acabamos de empezar a hablar de las matrices. Así que nos presentaron las operaciones elementales de fila para las matrices que dicen que podemos hacer lo siguiente:

1. Intercambiar dos filas.
2. Multiplica una fila con un número distinto de cero.
3. Añadir una fila a otra multiplicada por un número.

Ahora entendí de la conferencia en la clase como usar estos y todo, pero quiero entender la lógica detrás del número 3. ¿Existe una prueba matemática que demuestre que al sumar la fila $R_1$ a la fila $R_2$ no estamos cambiando el sistema de ecuaciones?

Gracias de antemano

Answer 1

Estamos cambiando el sistema de ecuaciones, lo que no estamos cambiando es el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones.

La siguiente figura muestra las ecuaciones \begin{align*} -x+2y &= 2 \\ x-y &= 0 \end{align*} y lo que ocurre después de añadir la primera ecuación a la segunda, es decir, el sistema de ecuaciones \begin{align*} -x+2y &= 2 \\ y &= 2. \end{align*}

Podemos ver que el sistema de ecuaciones sí ha cambiado, pero el conjunto de soluciones (en este caso $\{(2,2)\}$ ) se conserva.

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Para demostrarlo: Si $\mathbf{x}$ satisface las ecuaciones $E_1$ y $E_2$ entonces satisface las ecuaciones $E_1$ y $E_1+E_2$ . Por el contrario, si $\mathbf{x}$ satisface la ecuación $E_1$ y $E_1+E_2$ entonces satisface las ecuaciones $E_1$ y $(E_1+E_2)-E_1$ (que es $E_2$ ).

Concluimos que $\mathbf{x}$ satisface las ecuaciones $E_1$ y $E_2$ si y sólo si $\mathbf{x}$ satisface las ecuaciones $E_1$ y $E_1+E_2$ .

Así, el conjunto de soluciones se conserva.

Answer 2

Cuando tienes un sistema de ecuaciones, digamos, líneas. Si las graficas, verás que las líneas se interceptan en un punto común. Este punto es la solución del sistema. Así que, cuando creas otra ecuación basada en las ecuaciones de tu sistema original, por ejemplo, añadiendo una a otra, estás creando una línea totalmente nueva, pero la solución será la misma.

Piensa en este sistema:

$$2x + 4y = 14$$ $$5x + 2y = 19$$

(El sistema puede verse como algo parecido a esta "matriz")

Tiene una solución $S\{x=3, y=2\}$

Ahora, digamos que usted obtiene el second line y sustituir por el second line minus the first line Así, sabes que la segunda línea es $$5x + 2y = 19$$

Ambos lados de la ecuación muestran un modo de escribir el número $19$ . Así que, digamos que se añade $19$ a ambos lados de la ecuación $1$ :

$$2x + 4y + \color{Red}{19} = 14 + \color{Red}{19}$$

Bueno, puedo hacerlo, ¿no? Así que.., $19$ también puede escribirse como $5x + 2y$ (en nuestro sistema), así que vamos a sustituir el $19$ del primer lado de la ecuación por $5x + 2y$ :

$$2x + 4y + \color{Red}{5x + 2y} = 14 + \color{Red}{19}$$

Ahora, sumando las termias iguales, tenemos una tercera ecuación para nuestro sistema:

$$7x + 6y = 33$$

¿Lo ves? ¡Has añadido una ecuación a otra! :)

Que también comparten la solución $S\{x=3, y=2\}$ . Por supuesto, esta será una nueva línea, pero en el sistema de ecuaciones sólo te importan las soluciones del sistema. No importa si será una línea diferente. Acabas de encontrar otra recta que intercepta tu sistema en la solución.

Así que cambió su sistema por sustituyendo a el segunda línea por el second line plus the first line

Si multiplicas los dos lados de una fila, seguirá funcionando, porque estarás obteniendo otra ecuación que también comparte la misma solución, como he mostrado aquí.

Cuando trabajas en Álgebra Lineal, no resuelves directamente sobre sistemas, pero creo que lo estás viendo como algo parecido a una matriz. Esto es sólo una manera de trabajar con los sistemas sin tener que escribir el $x, y, ...$ coeficientes todo el tiempo.

Así que tenías este sistema de líneas:

Luego has creado un nuevo sistema con la tercera ecuación:

Pero todos ellos tienen la misma solución

Answer 3

Ejemplos con sólo $2\times 2$ Los sistemas lineales pueden ser engañosos, aunque iluminadores.

Consideremos, para simplificar, sólo las filas $R_1$ y $R_2$ de una matriz $A$ que representa un sistema lineal. Cuando se cambia $R_2$ con el resultado de añadirle $R_1$ multiplicado por $d$ Si el sistema lineal cambia, es evidente que toda solución del antiguo sistema es una solución del nuevo. En efecto, si $x_1$ , $x_2$ , $\dots$ , $x_n$ son números tales que

$$ a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n = c_1 $$ y $$ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \dots + a_{2n} x_n = c_2 $$ entonces $$ (a_{21}+da_{11}) x_1 + (a_{22}+da_{12}) x_2 + \dots + (a_{2n}+da_{1n}) x_n = c_2 + dc_1 $$ Ahora, llama a $B$ la nueva matriz y aplicarle la operación "sumar a su segunda fila la primera multiplicada por $-d$ ". Entonces se aplica el mismo razonamiento y cualquier solución del sistema representado por $B$ es también una solución del sistema representado por la matriz resultante.

Pero, ¿cuál es la matriz resultante? Es precisamente $A$ .

Así, los dos sistemas tienen el mismo conjunto de soluciones.

El mismo razonamiento se aplica cuando se hace esto en general, con la limitación de usar dos diferentes filas. De lo contrario, podrías terminar sumando a una fila su opuesto, que es lo mismo que multiplicar la fila por $0$ que no es una operación de fila legal.

Por las mismas razones, también los otros dos tipos de operaciones de fila no cambian el conjunto de soluciones: son reversible .

Aprenderás que haciendo una operación elemental de fila en una matriz $A$ es lo mismo que multiplicar la matriz por un invertible por lo que la operación puede invertirse simplemente multiplicando la matriz resultante por la inversa de la "matriz elemental" utilizada anteriormente.

Esto tiene como consecuencia que una matriz $A$ puede representarse escrito como producto de matrices "más simples": algunos lo escriben como $$ A=P^TLU $$ donde $P$ es una "matriz de permutación" (correspondiente a las operaciones de intercambio de filas necesarias para llevar $A$ en forma de escalón de fila), $L$ es triangular inferior y $U$ es la forma escalonada de la fila. Ambos $P$ y $L$ son invertibles y es muy fácil escribir sus inversos. Esta descomposición tiene muchas aplicaciones porque $P$ , $L$ y $U$ llevar información sobre $A$ en un formato fácilmente utilizable.

Answer 4

No conozco la prueba matemática a mano, pero me ayudó a pensar en las cosas con una analogía. Tomemos las ecuaciones $4x+3y=24$ y $3x+4y=25.$ Supongamos que $x$ y $y$ cada una de ellas representa cantidades fijas de manzanas. Podemos representar ecuaciones con $3$ pilas, una pila del primer término (digamos, $4x$ manzanas), una pila del segundo término (digamos, $3y$ manzanas), y la cantidad total de manzanas que tendría si combinara los montones ( $24$ manzanas). Ahora digamos que queremos sumar estas $2$ ecuaciones. Tenemos un montón de $4x$ manzanas, un montón de $3y$ manzanas, un montón de $3x$ manzanas y un montón de $4y$ manzanas. Si combinamos las $4x$ y $3x$ pilas, y el $3y$ y $4y$ pilas, hemos añadido esencialmente el $2$ ecuaciones juntas. Si a continuación se combinan estas $2$ nuevas pilas, aunque no se conozcan los valores de $x$ y $y$ , usted sabe con certeza que la nueva pila debe contener $24+25$ manzanas. Esencialmente has sumado todo, así que $(4x+3y)+(3x+4y) = 24+25$ .

Espero que esto ayude.