Encontrar los tres dígitos ' especial ' números que igual el promedio de todas las permutaciones de sus dígitos

Question

El número $518$ tiene una característica especial. Permite hacer las seis permutaciones de este número y agregarlos junto ($158+185+518+581+815+851=3108$). Medio de este número es $\dfrac{3108}{6}=518$.

¿Cómo puedo encontrar todos los números de tres dígitos que tienen esta misma característica?

Answer 1

Sugerencia: Sea el número de tres dígitos $100a+10b+c$, entonces la suma de sus permutaciones,

$$200(a+b+c)+20(a+b+c)+2(a+b+c)=222(a+b+c).$$

Por lo tanto, el problema es equivalente a resolver la ecuación de diophantine

$$37(a+b+c)=100a+10b+c.$$

Tenga en cuenta que $1\le a\le 9$ y $0\le b,c \le 9$.

Answer 2

Como por Jack Frost y Patrick Stevens contribuciones:

$100a+10b+c = 37(a+b+c)$

$63a = 27b+36c$

$7a = 3b+4c$

$a = (3b+4c)/7$

para $1\le a\le 9$ $0\le b,c \le 9$

Nota la menor solución es a=1,b=1,c=1. Y hay 9 soluciones simétricas: a=b=c para cada valor de $1\le a\le 9$

{(1,1,1), (2,2,2), ... (9,9,9)} Tenga en cuenta que el (0,0,0) es excluido, pero es un útil punto de partida para la consideración de las perturbaciones de soluciones.

(Tenga en cuenta también por congruencias consigue $a == b$ (mod 3) y el $a == c$ (mod 4))

Mediante el establecimiento de c=0 también encontramos a=3,b=7,c=0

Mediante el establecimiento de b=0 también encontramos a=4,b=0,c=7

Tomando nota de 7*1 = 4*1 + 3*1, podemos convertir una solución jurídica tupla a otro mediante la adición de (+1,+1,+1) mientras la mayor dígitos no exceda de 9, por lo tanto nos encontramos con:

a=4,b=8,c=1 y, de nuevo, a=5,b=9,c=2

a=5,b=1,c=8 y de nuevo a=6,b=2,c=9

De manera similar, otras perturbaciones son legales (+4,0,+7) (+3,+7,0), (0,+4,-3), (0,+3,-4) así como (+1,+1,+1); y estos son sólo los legales, ya que cualquier otro podría enviar algunos dígitos > 9

Por lo tanto no hay otras soluciones a los nueve simétricos y los seis asimétrica de arriba.

También puede elegantemente demostrar que gráficamente mediante el dibujo de la cuadrícula de (b,c) y el colorante en todas las soluciones legales; (0,0,0) es excluido, pero especial, todas las soluciones legales que se puede llegar a partir de (0,0,0) en varias ocasiones la adición de cualquiera de las perturbaciones (+1,+1,+1), (+4,0,+7) (+3,+7,0), (0,+4,-3), (0,+3,-4)