Supongamos $\alpha$ es una raíz del polinomio $P(x)$ grado $n$, e $\beta$ es una raíz del polinomio $Q(y)$ grado $m$ con coeficientes en $\mathbb{Q}$. El uso de $P(x)$ cada poder de la $\alpha$ puede ser reducido a una combinación lineal de $\{1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{n-1}\}$, del mismo modo que cada poder de la $\beta$, modulo $Q(y)$ es una combinación lineal de $\{1,\beta, \ldots, \beta^{m-1}\}$. Los coeficientes de estas combinaciones lineales son números racionales.
Considere la posibilidad de $\omega = \alpha + \beta$. Podemos constructivamente demostrar que este número es algebraico. Mediante la reducción de los poderes de $\alpha$ $\beta$ podemos representar cualquier poder de la $\omega$$\sum_{p=0}^{n-1} \sum_{q=0}^{m-1} c_{p,q}\alpha^p \beta^q$,$c_{p,q} \in \mathbb{Q}$. Por lo tanto powes de $\omega$ se asignan a $\mathbb{Q}^{m \cdot n}$, y por lo tanto existe coeficientes de $\{a_0, a_1, \ldots, a_{m \cdot n}\} \in \mathbb{Q}$ tal que
$$
a_0 +a_1 \omega + \cdots + \omega^{m \cdot n} a_{m \cdot n} = 0
$$
Example: For $\phi$, polynomial is $P(T) = T^2-T-1$ and for $\sqrt{2}$ the polynomial is $Q(T) = T^2 - 2$. Thus, using basis $\{1, \phi, \sqrt{2}, \phi \sqrt{2}\}$:
$$
\begin{eqnarray}
1 &=& 1 \cdot 1 + 0 \cdot \phi + 0 \cdot \sqrt{2} + 0 \cdot \phi \sqrt{2} \\
\phi+\sqrt{2} &=& 0 \cdot 1 + 1 \cdot \phi + 1 \cdot \sqrt{2} + 0 \cdot \phi \sqrt{2} \\
\left(\phi+\sqrt{2}\right)^2 &=& 3 \cdot 1 + 1 \cdot \phi + 0 \cdot \sqrt{2} + 2 \cdot \phi \sqrt{2} \\
\left(\phi+\sqrt{2}\right)^3 &=& 1 \cdot 1 + 8 \cdot \phi + 5 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot \phi \sqrt{2} \\
\left(\phi+\sqrt{2}\right)^4 &=& 18 \cdot 1 + 15 \cdot \phi + 4 \cdot \sqrt{2} + 16 \cdot \phi \sqrt{2}
\end{eqnarray}
$$
Resolviendo el espacio nulo problema, nos encontramos con que $\phi + \sqrt{2}$ es un cero de
$$
z^4 -2 z^3 - 5 z^2 + 6z -1 = 0
$$
Similarly, one can establish the polynomial whose root is $\phi \cdot \sqrt{2}$, which is $z^4 - 6 z^2 + 4$. En Mathematica, uno puede usar MinimalPolynomial (en línea, ref-page) para hacer estos cálculos.
