¿Cada función con la propiedad del valor intermedio es un derivado?

Question

Como es bien sabido cada función continua tiene el valor intermedio de la propiedad, pero incluso algunos de funciones discontinuas como $$f(x)=\left\{ \begin{array}{cl} \sin\left(\frac{1}{x}\right) & x\neq 0 \\ 0 & x=0 \end{array} \right.$$ se tenga esta propiedad.
De hecho sabemos que un derivado siempre tienen esta propiedad.

Mi pregunta es, si para cada función $f$ con el valor intermedio de la propiedad existe una función $F$ tal que $F'=f$. Y si es así, es de $F$ únicos (hasta un constante puede agregar)?

Mis intentos hasta ahora: (Acaba de saltar si usted se siente así)

La forma más natural de encontrar esas funciones sería la integración, por lo que supongo que la pregunta puede ser reducido para que, si las funciones con el valor intermedio de la propiedad puede ser integrado.
Este depende pesado sobre cómo definir cuando una de las funciones es integrable, nosotros (mi clase de análisis) dijo que llamamos una función integrable cuando está regulado función (los límites de $x\a x_0^+ f(x)$ y $x\a x_0^- f(x)$ existe ) .
Como mi ejemplo de arriba muestra, no todas las funciones con el valor intermedio de la propiedad es una regulado función. Pero si decimos que una función es integrabel cuando cada riemann suma converge a la función de arriba es integrable, así que parece que esta sería una definición mejor para mi problema.

Edit: Como Kevin Carlson señala en un commentar que ser un derivado es diferente de riemann integrable, incluso dio un ejemplo de una función que es diferenciable, pero es derivado no es riemann integrable. Así que no se puede demostrar que las funciones riemann integrables, ya que no son riemann integrables en general. Ahora no tengo ni idea de cómo encontrar una respuesta.

Answer 1

Si usted componer $\bronceado^{-1}$ con Conway Base-$13$ de la Función, a continuación, obtener una delimitada con un valor real de la función en el intervalo abierto $(0,1)$ que satisface el Valor Intermedio de la Propiedad, pero es discontinua en todos los puntos $(0,1)$. Por lo tanto, del teorema de Lebesgue sobre las condiciones necesarias y suficientes para Riemann-integrabilidad, esta función no es Riemann-integrable en cualquier no-degenerada cerrado sub-intervalo de $(0,1)$.

Ahora, no puede ser la derivada de cualquier función, debido a que por la Categoría de Baire Teorema, si una función definida en un intervalo abierto tiene una antiderivada, entonces la función debe ser continua en un denso conjunto de puntos. Este hilo puede ser de interés para usted. :)

Answer 2

Aquí está una (limitada, Baire clase 1) "natural" es un ejemplo de una función con el valor intermedio de la propiedad que no es un derivado. He mencionado también en esta respuesta.

Consideremos, en primer lugar la función que usted ha mencionado, $$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sin\left(\frac1x\right)&\mbox{ si }x\ne0,\\ 0&\mbox{ si }x=0.\end{array}\right.$$ Esta función es un derivado, ya que, dejando de $g$ ser la función $$g(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2\cos\left(\frac1x\right)&\mbox{ si }x\ne0,\\ 0&\mbox{ si }x=0,\end{array}\right.$$ y configuración de $$h(x)=\left\{\begin{array}{cl}2x\cos\left(\frac1x\right)&\mbox{ si }x\ne 0,\\ 0&\mbox{ si }x=0,\end{array}\right.$$ entonces $h$ es continua, y $f(x)=g'(x)-h(x)$ para todo $x$. Pero las funciones continuas son derivados, por lo que $h$ es también un derivado. Ahora tome $$j(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sin\left(\frac1x\right)&\mbox{ si }x\ne0,\\ 1&\mbox{ si }x=0.\end{array}\right.$$ Esta función todavía tiene el valor intermedio de la propiedad, pero $j$ es no un derivado. De lo contrario, $j-f$ también sería un derivado, pero $j-f$ no tiene el valor intermedio de la propiedad (tiene una discontinuidad de salto en $0$).

La referencia

A. C. M. van Rooij, y W. H. Schikhof, Un segundo curso sobre funciones reales, Cambridge University Press, 1982,

analiza este ejemplo en gran detalle, mostrando que, en lugar de seno, uno puede utilizar cualquier periódico de derivados:

Si $j:[0,\infty)\to\mathbb R$ es un derivado, y $j(x+1)=j(x)$ para todo $x\ge 0$, se puede establecer $J$ ser una antiderivada de $j$, vamos a $A=J(1)-J(0)$, y definir $h:[0,1]\to\mathbb R$ por $$h(x)=\left\{\begin{array}{cl} j\left(\frac1x\right)&\mbox{ si } 0<x\le 1,\\&\mbox{ si }x=0.\end{array}\right.$$ Entonces, uno puede argumentar que $h$ es un derivado y, dejando $i$ ser cualquier función que coincide con $h$, excepto en $0$, donde se lleva a un valor de $a$, pero de cerca, tenemos un ejemplo de un $i$ con el valor intermedio de la propiedad, acotado, y de Baire clase 1, que es no es un derivado.

A ver que $h$ es, de hecho, un derivado, aviso primero que $a=0$, sin pérdida de generalidad (en sustitución de $j$ por $j$, $h,$ por $h$, y $J$ $\hat J(x)=J(x)-Ax$). Ahora establecer $$H(x)=\left\{\begin{array}{cl}-x^2J\left(\frac1x\right)+2\int_{\frac1x}^\infty \frac{J(s)}{s^3}\,ds&\mbox{ si }0<x\le 1,\\ 0&\mbox{ si }x=0.\end{array}\right.$$ Entonces, uno puede comprobar que $H'=h$ (usando que nuestra elección de $A=0$ $J$ periódica y, por tanto, limitada, para asegurarse de que $H'(0)=0$).

Van Rooij y W. H. Schikhof, a continuación, proceder a considerar ejemplos específicos de funciones $j$ que se utilizan para verificar la siguiente:

• No es un derivado de $f$ tales que $|f|$ no es un derivado.
• No es un derivado de $f$ tal que $f^2$ no es un derivado.
• No es derivado de $f$ con, digamos, $1\le f\le de$ 2, $1/f$ no es un derivado.

Answer 3

Otro conterexample es este: dejar de dólares(a_n, b_n), n = 1, 2, \ldots$ser la secuencia de todos los intervalos abiertos en$\mathbb{R}$con racional de los extremos. Deje de$C_1$ser algunas conjunto de Cantor dentro de$(a_1, b_1)$. Porque$C_1$es cerrado y no tiene interior,$(a_2, b_2) - C_1$contiene algunas abrir subinterval. Construcción de conjunto de Cantor$C_2$dentro de este subinterval. Podemos seguir este procedimiento (construir un nuevo conjunto de Cantor$C_n$en$(a_n, b_n)$que no se intersectan creado previamente$C_1, C_2, \ldots$) -- este es essentialy el mismo argumento como en la prueba de Baire teorema.

Ahora, tenemos una secuencia de conjuntos de Cantor $C_1, C_2, ...$ tales que 1) $C_i \cap C_j = \emptyset$ por $i \ne j$ y 2) $\bigcup_{i \geq 1} C_i$ es denso en $\mathbb{R}$. Por cada $n$, elegir un bijection $f_n: C_n \to \mathbb{R}$ (existe uno, porque $C_n$ tiene la cardinalidad del continuo). A continuación, construir una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = f_n(x)$ si $x \in C_n$ y $f(x) = 0$ si $x \no \en C_n$ para $n$. Es fácil ver que $f$ ha intermedio valor de la propiedad: si tenemos unos $x < y$ y $f(p) < f(q) de dólares, hay algunos intervalo racional de los extremos de$(a_n, b_n) \subset (x, y)$,$C_n \subconjunto (a_n, b_n)$, así que para cualquier$z \in (f(p), f(q))$hay$w \en C_n$tal que$f(w) = z$:$w$es de solo$f_n^{-1}(z)$(recuerde que$f_n$ era un bijection).

Más curiosamente, el conjunto $\bigcup_{n \geq 2} C_n$ también es denso en $\mathbb{R}$, por lo que podemos repetir lo anterior con una construcción de cualquier función $f_1: C_1 \to \mathbb{R}$, no necesariamente un bijection, y todavía obtener una función con el valor intermedio de la propiedad. Ahora, hay $2^{\mathfrak{c}}$ de las diferentes funciones $C_1 \to \mathbb{R}$, por lo que hay $2^{\mathfrak{c}}$ funciones de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con el valor intermedio de la propiedad. Ya no son sólo $\mathfrak{c}$ funciones continuas de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, también hay $\mathfrak{c}$ derivados, y dado que $\mathfrak{c} < 2^{\mathfrak{c}}$, hay un montón de funciones con valores intermedios de los bienes que no son instrumentos derivados.