Un espacio de Banach es reflexivo si y solo si su dual es reflexivo

Question

¿Cómo demostrar que un espacio de Banach X es reflexivo si y solo si su dual X' es reflexivo?

Answer 1

Estoy asumiendo que tienes a tu disposición dos teoremas, fácilmente demostrados:

Teorema 1: Si un espacio de Banach $X$ es reflexivo, entonces su espacio dual $X'$ es reflexivo.

Teorema 2: Un subespacio cerrado de un espacio de Banach reflexivo es reflexivo.

Afirmación: Sea $X$ un espacio de Banach. Si $X'$ es reflexivo, entonces $X$ es reflexivo.

Prueba: Supongamos que $X'$ es reflexivo. Por el Teorema 1 se sigue que $X''$ es reflexivo. Si consideramos la aplicación canónica $J : X \to X''$ se sigue que $J(X)$ es un subespacio de $X''$. Dado que $X \cong J(X)$ y $X$ es un espacio de Banach, entonces $J(X)$ es un espacio de Banach y por lo tanto cerrado. Por el Teorema 2 podemos concluir que $J(X)$ es reflexivo. Pero dado que $X \cong J(X)$ concluimos que $X$ es reflexivo.

Además, una consecuencia de esto es que un espacio de Banach es reflexivo si y solo si su espacio dual es reflexivo.

Answer 2

Se puede mostrar directamente:

Sea $J : X \to X^{**}$ y $J_*: X^* \to X^{***}$ las inyecciones canónicas. Supongamos por contradicción que $JX \subsetneq X^{**}$; usando el teorema de Hahn-Banach, existe $\zeta \in X^{***}$ tal que $\zeta \neq 0$ y $\zeta \equiv 0$ en $JX.

Como $X^*$ es reflexivo, existe $\theta \in X^*$ tal que $\zeta = J_*\theta$. Para todo $x \in X$:

$$0= \langle \zeta,Jx \rangle= \langle J_*\theta,Jx \rangle = \langle Jx,\theta \rangle= \langle \theta,x \rangle$$

Se deduce que $\theta=0$ y por lo tanto $\zeta=0: una contradicción.

Answer 3

Realmente un espacio de Banach $X$ es reflexivo si y solo si $X'$ es reflexivo.

$$X\textrm{ es reflexivo}\Longrightarrow X'\textrm{ es reflexivo.}\tag{1}$$

Prueba. Por el teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki, la bola cerrada $B_{X'}$ es cerrada con respecto a la topología débil-estrella $\sigma(X',X)$. Por la reflexividad de $X$ tenemos que $\sigma(X',X'')=\sigma(X',X)$. Por lo tanto, $B_{X'}$ es cerrada con respecto a la topología débil $\sigma(X',X)$, es decir, $X'$ es reflexivo. $\square$

$$X'\textrm{ es reflexivo}\Longrightarrow X\textrm{ es reflexivo.}\tag{2}$$

Prueba. Por hipótesis y por (1) obtenemos que $X''$ es reflexivo, y por lo tanto incluso su subespacio vectorial cerrado $J(X)$ es reflexivo. Pero la inyección canónica $J:X\to X''$ es una isometría, por lo tanto $X$ es reflexivo. $\square$

Answer 4

Aquí hay un enfoque diferente y más geométrico que proviene del libro de Folland, ejercicio 5.24

Sean $\widehat X$, $\widehat{X^*}$ las imágenes naturales de $X$ y $X^*$ en $X^{**}$ y $X^{***}$.

Definimos $\widehat X^0 = \{F\in X^{***}: F(\widehat x) = 0 \text{ for all } \widehat x \in \widehat X\}$

1) No es difícil demostrar que $\widehat{X^*} \bigcap \widehat X^0 = \{0\}$.

2) Además, $\widehat{X^*} + \widehat X^0 = X^{***}$. Para demostrar esto, sea $f\in X^{***}$, y definimos $l \in X^*$ por $l(x) = f(\widehat x)$ para todo $x\in X$.

Entonces $f(\phi) = \widehat l(\phi) + [f(\phi) - \widehat l(\phi)]$.

Claramente $\widehat l \in \widehat{X^*}$, y afirmamos que $f - \widehat l \in \widehat X^0$. Sea $\widehat x \in \widehat X$. Entonces $f(\widehat x) - \widehat l ( \widehat x) = f(\widehat x) - \widehat x (l) = f(\widehat x) - l(x) = 0$

Ahora que se han verificado 1) y 2), demostramos la afirmación:

Si $X$ es reflexivo, entonces $\widehat X^0 = \{0\}$, y así $X^{***} = \widehat{X^*}$, por lo que $X^*$ es reflexivo.

Si $X^*$ es reflexivo, entonces $X^{***} = \widehat{X^*}$, así que $\widehat X^0 = \{0\}$. Dado que $\widehat X$ es un subespacio cerrado de $X^{**}$ (asumiendo que $X$ es Banach), si $\widehat X$ fuera un subespacio propio de $X^{**}$, podríamos usar el teorema de Hahn-Banach para construir un $F \in X^{***}$ tal que $F$ sea cero en $\widehat X$ y tenga ||F|| = 1. Sin embargo, esto contradiría que $\widehat X^0 = \{0\}$. Así que concluimos que $\widehat X = X^{**}$.