Cuando es un morfismo entre curvas una extensión de Galois de función campos

Question

Mis disculpas si esta pregunta ya ha sido contestada en algún lugar de este sitio: cuando busqué, sólo pude encontrar ejemplos específicos en lugar de la pregunta general.

Es sabido que en la categoría de normal curvas proyectivas y dominante morfismos entre ellos es equivalente a la opuesta de la categoría de los campos de la trascendencia grado $1$ $\mathbb{C}$ y extensiones algebraicas, de modo que birational invariantes de las curvas son en realidad los invariantes de la función de los campos, etc.

En la geometría algebraica, tenemos buena interpretaciones de lo que significa para una extensión de la función de los campos a ser separable o puramente inseparable, incluso si estas ideas son difíciles de visualizar, ya que sólo se producen en el primer carácter). Hay una similar forma geométrica para ver las extensiones de Galois? (O, supongo, normal extensiones?). ¿El hecho de que una extensión de Galois de grado $n$ es una división de campo de un grado $n$ polinomio tiene ningún sentido geométrico?

Answer 1

Que $K\subset L$ sea una extensión finita de los campos de grado $n$. Entonces es una extensión de Galois si y sólo si la copia de $L\otimes_K L\cong \prod L$, $n$ $L$. En términos geométricos, si $f:X\to Y$ es un mapa finito de curvas irreducibles, entonces es Galois si y sólo si tiene de $X\times_Y X$ $n=\deg f$ componentes irreducibles (todos necesariamente birracional a $X$).

Answer 2

Yo odio a ofrecer una respuesta, especialmente una tan parcial como este, porque yo no soy aparejador. Pero vamos a suponer que su base es de campo algebraicamente cerrado, para hacer las cosas más simples.

Para una cubierta de grado $N$ y un punto de $P$ en la planta baja, los puntos de $\{Q_1, Q_2,\cdots,Q_n\}$ sobre $P$ tienen la propiedad de que $\sum_ie_i=N$, donde el $e_i$ son la ramificación de los índices. Pero cuando la extensión de la función de los campos, es decir, la cubierta, es de Galois, todos los $e_i$ son iguales. Así que si un punto por encima de la $P$ es ramificado, con ramificación $e$, todos los puntos por encima de la $P$ tendrá que ramificación de grado. Para un ejemplo de un no-Galois cubierta, tomar la curva de $y=x^3-3x$ y proyectarlo en el $y$-eje. A ver que, por encima de $y=2$, uno de los puntos es ramificado, el otro no. (Dibuja la imagen).