Demostrar o refutar a+B es invertible

Question

Dadas dos matrices a $A,B\in M_n (F)$ donde $A$ $k$ - nilpotent y $B$ es invertible, es verdad eso de $A+B$ también es invertible? Yo estaba teniendo problemas en cómo probar esto, y entonces pensé que tal vez esta afirmación es incorrecta, pero no podía encontrar un contraejemplo. Tal vez alguien puede ayudar?

Answer 1

Esto no es cierto en general. Tomar $$ A = \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1& 0 \end{pmatrix}. $$ Sin embargo, $I+A$ siempre es invertible para nilpotent $A$. Lo mismo vale para los $A+B$ con invertible $B$ si $A$ $B$ conmutar: Si $A$ $B$ viaje, a continuación, $A$ $B^{-1}$ viaje, lo que implica que $B^{-1}A$ es nilpotent, por otra parte $I-(-B^{-1}A)$ es invertible con $$ (I-(-B^{-1})^{-1} = \sum_{i=0}^{k-1} (-B^{-1})^{i} $$ lo que implica $$ (A+B)^{-1} = B^{-1}(I+B^{-1})^{-1}. $$

Answer 2

Sugerencia: Considere el caso de $k = 2$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Se puede encontrar una matriz $B$ con columnas linealmente independientes tales que las columnas de a $A + B$ llegan a ser linealmente dependiente?