Es más general (y por lo tanto más útil) que caminar números que cambiar de signo, pero un poco peligroso, ya que contiene sólo para ciertas operaciones, que la regla citado no menciona.
De fondo
Cuando resolvemos una ecuación, queremos saber qué valores de las variables que hacen verdadera la ecuación. Cualquier derivación paso debe salir de este conjunto de valores sin cambios (y esperemos que hacen que la ecuación más simple).
Aplicar la misma operación a ambos lados de una ecuación de preservar todas las soluciones existentes. Sin embargo, para algunas operaciones, se pueden añadir nuevas soluciones. Por ejemplo, si tomamos la ecuación
$$ x = x + 1 $$
y se multiplican ambos lados con 0, obtenemos
$$ 0x = 0(x + 1) $$
Claramente, x = 4 es una solución de la ecuación transformada, pero no la original.
Más sutilmente, si tomamos la ecuación
$$ x = 4 $$
y se multiplican ambos lados de la x, obtenemos
$$xx = 4x$$
Ahora, x = 0 es una solución para la transformada de la ecuación, pero no la original.
La regla correcta
La aplicación de cualquier invertible operación a ambos lados de una ecuación dejará su conjunto de soluciones sin cambios. Una operación es invertible si tiene una operación inversa de tal forma que: para cada valor, la aplicación de la operación y, a continuación, la operación inversa, dará el valor original.
Prueba: Hemos visto que la aplicación de una operación a ambos lados de preservar las soluciones existentes. Cualquier solución a la ecuación original será la solución para la transformación de uno. Debido a que la operación es a la inversa, también podemos aplicar la operación inversa de la transformada de la ecuación, dando lugar a la original. Por lo tanto, cualquier solución de la ecuación transformada también será una solución de la original. Por lo tanto, ambas ecuaciones tienen las mismas soluciones.
Ahora, que las operaciones son invertible?
- La adición de cualquier número es invertible (la inversa de la operación de restar el mismo número).
- También, se multiplica por cualquier número distinto de 0 es invertible (la operación inversa es la división por ese número).
- Uno podría estar tentado a pensar que la toma de la raíz cuadrada es la operación inversa del cuadrado de un número - y lo es, pero sólo si sabemos el signo del número original. (9 es el cuadrado de 3, pero también la plaza de -3. Para deshacer el cuadrado, necesitamos saber el signo).
Un cuento con moraleja
Recuerdo con mucho cariño, cuando nuestro profesor, que era bastante sobrepeso, derivados de:
Vamos a W a ser mi peso, mi peso ideal, y x mi excedente de peso. Entonces tenemos:
$$ W = I + x $$
$$ Wx = (I + x)x $$
$$ 0 = x^2 + (I-W)x $$
$$ \left(\frac{I-W}{2}\right)^2 = x^2 + (I-W)x + \left(\frac{I-W}{2}\right)^2 $$
$$ \left(\frac{I-W}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{I-W}{2}\right)^2 $$
$$ \frac{I-W}{2} = x + \frac{I-W}{2} $$
$$ 0 = x $$
Así que ya ves, no estoy con sobrepeso en todo!
Ahora debería ser capaz de encontrar donde él había engañado.
