La convergencia de la secuencia de $\frac{1}{n\sin(n)}$

Question

¿La secuencia de $$\frac{1}{n\sin(n)}$$ convergen a $0$ o no? Si no, ¿cuál es el límite superior?

Answer 1

La pregunta es cómo cerrar $\sin(n)$ puede llegar a $0$.

La secuencia converge a $0$, si no somos capaces de encontrar una larga $(n_k)_k$ tal que $\sin(n_k)$ llega a $0$ tan rápidamente, que supera a $n$ ir $\infty$.

Los ceros de $\sin$ son todos los múltiplos enteros de $\pi$. La pregunta es entonces: ¿cómo así podemos aproximar $\pi$ por racionales?

Por Dirichlet del teorema de aproximación (que es muy simple para demostrar el uso de la pidgeonhole principio), existe una secuencia $n_k\rightarrow\infty$ $q_k$ tal que

$$\left|\frac{n_k}{q_k}-\pi\right|<\frac{1}{q_k^2}$$

Desde $|\sin(x)|= |\sin(x+k\pi)|$ $|\sin(x)|\le |x|$ $x\in\mathbb{R}$, $k\in\mathbb{Z}$, tenemos

$$\frac{1}{|n_k\sin(n_k)|}=\frac{1}{|n_k\sin(n_k-q_k\pi)|}\ge \frac{1}{n_k|n_k-q_k\pi|}\ge \frac{q_k}{n_k}\rightarrow \frac{1}{\pi}$$

Eso significa que, hay una larga que queda lejos de la $0$. Pero, claramente, también es un subsequence $n_k\rightarrow\infty$ tal que $|\sin(n_k)|>1/2$ (por ejemplo, aproximado impares múltiplos de $\pi/2$). A continuación,$1/|n_k\sin(n_k)|\le 2/n\rightarrow 0$. Por lo tanto, la larga converge a $0$.

Esto produce que el

Conclusión: La secuencia no convergen.

Answer 2

La secuencia no convergen.

Mira las partes fraccionarias de los múltiplos $q\pi$ $q$ rangos de $\{1,\dots,N\}$. Algunos de los dos $q_1\pi$, $q_2\pi$ debe ser diferente a la mayoría de los $1/N$, por lo que tenemos un entero $q=|q_1-q_2|<N$ tal que $q\pi$ difiere de un entero positivo $p_N\leq N\pi$ a la mayoría de los $1/N$. Por lo tanto $|\sin p_N| = |\sin(p_N-q\pi)|\leq 1/N$, lo $|p_N\sin p_N|\leq \pi$. Además desde $|\sin p_N|\leq 1/N$ $\pi$ es irracional debemos tener $p_N\to\infty$. Por lo tanto $\limsup 1/|n\sin n|\geq1/\pi$.

Por otro lado, es fácil ver $\liminf 1/|n\sin n|=0$, por lo que la secuencia no convergen.

EDIT. Con un análisis similar al anterior, se puede verificar que el $\limsup 1/|n\sin n|<\infty$ si y sólo si existe una constante $c>0$ tal que $|\pi-p/q|>c/q^2$ todos los $p/q\in\mathbf{Q}$. Tales números son llamados "mal approximable". En cuanto a la continuación de la fracción expansiones, un número es mal approximable iff los términos de su continuo fracción de expansión son limitadas, por lo $\limsup 1/|n\sin n|=\infty$ fib de los términos en la continuidad de la fracción de expansión de $\pi$ son ilimitados. Me imagino que esto es desconocida, pero no estoy seguro.

Para poner esto en un contexto más grande, el número de $e$ no está mal approximable, y casi todos los $x\in\mathbf{R}$ no están mal approximable. Dudo que nadie conjetura de que $\pi$ es mal approximable.

Hay una gran riqueza de información relevante en esta página de la Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_approximation.