Estoy leyendo un libro acerca de la teoría de la probabilidad y el uso de un cierto teorema, llamado Komlós del teorema que establece que:
Para una secuencia $ (\xi_n) $ de las variables aleatorias en $ (\Omega,\mathcal{F},P) $$\sup_n E|\xi_n| < \infty $. Entonces no es una variable aleatoria $ \zeta \in L^1$ y una larga $ (\zeta_k) = (\xi_{n_k}) $ tal que $$ \frac{\zeta_1+\cdots+\zeta_k}{k} \to \zeta \text{ a.s. }\tag{1}$$ Además, la larga $ (\zeta_k) $ puede ser elegido de tal manera que su más larga también satisfacer (1).
Así que he encontrado una prueba de este teorema en el libro
"Dos de la Escala de los Sistemas Estocásticos" de Yu. Kabanov y S. Pergamenshchikov.
La prueba del teorema se puede encontrar en el Apéndice, en la página 250. Por desgracia, no está disponible en línea. Sin embargo, espero que haya alguien que posee este libro y me puede ayudar.
El punto, donde me quedé atrapado en la página 253.
Es claro que estamos en condiciones de elegir este aumento de la secuencia de $ n_k $ tal que para todos los $ n \ge n_k $
$$ E\eta^2_k \le E(\xi^{(k)}_n)^2 +2^{-k} \text{ and }|E(\xi^{(k)}_n-\eta_k | \gamma_{j_1},\dots,\gamma_{j_m})| \le 2^{-k}$$
para todos los $ m\le k-1, j_1<j_2<\dots<j_m $,$ \gamma_j:= D_j(\xi^{(j)}_{n_j}-\eta_j)$.
Sólo para la integridad, nos pusimos $ \zeta_k:= \xi_{n_k} $.
Ahora me confundo, acerca de las siguientes 3 cosas:
- ¿Por qué es $ |E(\gamma_k \mid \gamma_1,\dots,\gamma_{k-1})|\le 2^{-k+1} $ — por encima de las desigualdades presionado para $ \xi^{(k)}_n-\eta_k $ en lugar de $ \gamma_k $?
-
Lo que sigue a la primera de dos desigualdades no está claro:
$$ \sum_{i=1}^\infty\frac{1}{k^2}E\gamma_k^2 \le 2\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{k^2}E(\zeta_k^{(k)}-\eta_k)^2+ O(1) \le 4 \sum_{i=1}^\infty\frac{1}{k^2}E(\zeta_k^{(k)})^2 +O(1) < \infty.$$
En la última desigualdad, acaba de calcular:
$$ E(\zeta_k^{(k)}-\eta_k)^2 = E(\zeta_k^{(k)})^2 +2 E\,\zeta_k^{(k)}\eta_k + E\eta_k^2 \le 2 E(\zeta_k^{(k)})^2 +2 E\,\zeta_k^{(k)}\eta_k + 2^{-k}. $$
Por lo que el plazo $ 2^{-k} $ puede ser controlado, pero no sé cómo obligado el plazo $ E\,\zeta_k^{(k)}\eta_k$.
Agradecería mucho si alguien pudiera explicar lo que está pasando aquí.
thx & saludos
matemáticas
Ya que parece ser difícil, he estado el lema de que los autores necesidad de la prueba. Cito:
Lema 1 : Vamos a $ \eta _n $ ser una secuencia de variables aleatorias convergente débilmente en $ L^2 $ a una variable aleatoria $ \eta $. Entonces $$ E|\eta| \le \lim\inf E|\eta_n| \tag{2}$$ $$ E|\eta|^2 \le \lim\inf E|\eta_n|^2 \tag{3}$$
Ahora una definición:
$$ \xi^{c}:=\xi 1\{|\xi|\le c\} $$ $$ D_m(\xi):=\sum_{i=-\infty}^\infty i2^{-m} 1\{\xi\in (i2^{-m},(i+1)2^{-m}]\} $$
Ellos le llaman el truncamiento y la discretización de los operadores en $ L^0 $.
Lema 2 : Suponga $ \sup_nE|\xi_n| < \infty $ y por cada $ k \in \mathbb{N} $ the sequence $ (\xi_n^{(k)}) $ converges weakly in $ L^2 $ to a random variable $ \eta_k $. Then there exists $ \eta \en L^1 $ such that $ \eta_k $ tends to $ \eta $ a.s. and in $ L^1 $.
Y el último lema
Lema 3 : Deje $ \mathcal{G} $ $ \sigma $- álgebra generada por un número finito de partición $ A_1,\dots,A_N $$ A_i \in \mathcal{F}$. Suponga que una secuencia de variables aleatorias $ (\xi_n) $ converge débilmente en $ L^2 $ a cero. Entonces para cualquier $ \epsilon >0$ existe $ n_0 =n_0(\epsilon) $ tal que $$ E(\xi_n|\mathcal{G})\le \epsilon $$ para todos los $ n\ge n_0 $.
