Obras originales del gran matemático Évariste Galois

Question

A través de esta pregunta que quería conocer la obra original de Galois. Cuando estaba leyendo la teoría de Galois ( ya que desde el mes pasado ) , he estado viendo una línea común en todos los libros, cuya esencia aparece como sigue :

"La obra original de Galois es bastante diferente del presentado la versión aquí ( que es debido a Artin ) , las obras originales de Galois son diferentes ya que los conceptos como automorfismos y otras cosas que no fueron descubiertos en el momento de Galois. "

Tengo curiosidad por saber cuáles son las nociones que Galois se utiliza ? y lo que es la correspondiente formulación de la teoría de Galois, ( correspondiente a la presente versión que utiliza el vocabulario moderno de Automorfismos ) .

Pero, por otro lado , ¿hay algún completa bosquejo biográfico de Évariste Galois ? . Pero yo realmente quería saber sobre él, creo que no hay una sola imagen original de él. Pero había una foto original del Maestro de Gauss conmigo ( pero no tengo una imagen original de Galois, más que el retrato dibujado por su amigo y yo sería muy feliz si alguien te da un enlace a una foto rara aparte de los normales ).

Gracias a todos.

Answer 1

En primer lugar, una buena referencia es Harold Edwards' libro de la Teoría de Galois, que hace un esfuerzo para desarrollar la teoría directamente siguientes Galois original ensayo sobre la solvencia de los radicales. Basado en su pregunta absolutamente recomiendo conseguir un asimiento de este libro.

Segundo, aquí es un (necesariamente muy breve) respuesta a su pregunta. (Para una respuesta completa, véase Edwards!) Las diferencias entre Galois de desarrollo y el moderno son enormes, y se dividen en dos amplias categorías:

La superficie de las diferencias: cuando Galois estaba hablando acerca de un objeto que ahora tiene un nombre estándar y definición. Él no tenía el nombre y la definición, pero básicamente estamos hablando del mismo objeto ahora hablamos de. Ejemplos:

• La definición abstracta de un campo aún no estaba disponible. Sin embargo, Galois escribe cosas como "$x$ se puede expresar en una función racional de $\alpha, \beta \dots$," que nos iba a escribir ahora como $x\in \mathbb{Q}(\alpha,\beta\dots)$.

• Relatedly, Galois se introdujo el término "tocar" para significar lo que ahora reconocemos como la creación de un campo de extensión. De Galois manera de hablar acerca de este proceso fue la elaboración y algo modificar el significado de la palabra "racional." Galois explicó que "racional" en su obra significaría una cantidad que se puede expresar en términos de (ordinario) los números racionales, los coeficientes de una ecuación dada, y "cualesquiera otras cantidades que no se han adherido a (a de la ecuación)."

• Galois se introdujo la palabra "grupo" para referirse a los grupos de permutaciones de las raíces de una ecuación. Ahora reconocemos a estos grupos como automorphism grupos de campos; por supuesto Galois no lo vea de esa forma. Para él eran un subconjunto del conjunto de las permutaciones de las raíces, que tenía la propiedad de que la izquierda fija los valores de todas y sólo aquellas expresiones racionales en las raíces, cuyos valores fueron de manera racional se puede expresar en términos de un conjunto dado de "tocaban" los números. Él creó una construcción explícita que demostró dado este conjunto de permutaciones. Por supuesto, la definición abstracta de un grupo estaba en ninguna parte a la vista: Galois fue siempre y hablando sólo de determinados grupos de permutaciones con la anterior propiedad.

Las profundas diferencias: cuando Galois lógica era sustancialmente diferente de los sucesos de hoy. Ejemplo:

• Para Galois, el lexema básico utilizado para probar todos los de la central de resultados es lo que ahora llamamos el Teorema Fundamental de Polinomios Simétricos. Esto no fue visto como un llamado teorema de Galois día, pero fue tratado como un hecho bien conocido por todos los matemáticos de la época. Todos los de la teoría de Galois como el desarrollado por Galois sí mismo comienza desde el hecho de que si una determinada expresión racional en las raíces de un polinomio es simétrico en estas raíces, entonces es expresable como una expresión racional en los coeficientes del polinomio. En los tratamientos modernos (por ejemplo, que en Nathan Jacobson Básicos de Álgebra I), el papel desempeñado por este lema es completamente eliminado y sustituido por la teoría elemental de espacios vectoriales de dimensión y de como el motor de la teoría. El teorema sobre la simétrica funciones racionales se cae en el extremo de menor consecuencia.

Answer 2

En realidad, Galois descubierto la existencia de un único atributo de cualquier polinomio de la ecuación de una incógnita: el grupo de Galois del polinomio de la ecuación. Este grupo, que se ha desarrollado tiene la SINGULAR propiedad de que cualquier función racional (en las raíces de la ecuación original) que es racional con valores, es decir, es igual a un número racional, permanece inalterada por las raíces permutated en la expresión racional por cualquier permutación que es un miembro de este grupo de Galois. El grupo de Galois tiene otras propiedades también. Estas propiedades del grupo de Galois de hecho no dependen del Teorema Fundamental de los Polinomios Simétricos. De hecho, el esquema de solución de Lagrange y Galois fue sugerido por el uso de este teorema. El conjunto de Galois desarrollo depende de que este grupo de Galois. Él propone, como hizo Lagrange, un POSIBLE esquema para la solución de una ecuación polinómica, si el grupo de Galois se descompone en una serie de anidado subgrupos. Por supuesto, este decompostion no es siempre posible. PERO . . . Galois hizo muestran que si las raíces están los radicales, entonces el grupo de Galois de hecho va a descomponer en una solución de series como la que se ve se describen en los libros sobre la teoría del grupo o de la moderna teoría de Galois. Galois también demostró que, si el grupo de Galois de un polinomio de hecho se torne en una solución de la serie, a continuación, las raíces se verían obligados a ser radicales. Sin embargo, el principal logro de Galois parece ser el descubrimiento de este grupo de Galois. Como se puede ver, esta propiedad de cualquier expresión racional de las raíces que es racional valorados ser modificado por una permutación de que el grupo de Galois nos lleva naturalmente al descubrimiento de la automorphism, una de cuyas propiedades es que deja a los números racionales inalterada. Esta era la clave para el desarrollo de la moderna teoría de Galois.