¿Grupo contable, subgrupo incontablemente distinto?

Question

¿Necesito saber si la siguiente afirmación es verdadera o falsa?

Todo grupo contable $G$ sólo tiene un número contable de subgrupos distintos.

No he conseguido ningún contraejemplo para refutar la afirmación sino una vaga idea para refutar como: si tiene incontablemente muchos subgrupos distintos entonces debe tener incontable número de elementos?

Answer 1

Dejemos que $(\mathbb{Q},+)$ sea el grupo de los números racionales bajo adición. Para cualquier conjunto $A$ de primos, dejemos que $G_A$ sea el conjunto de todos los racionales $a/b$ (en términos mínimos) tal que cada factor primo del denominador $b$ está en $A$ . Está claro que $G_A$ es un subgrupo de $\mathbb{Q}$ y que $G_A = G_{A'}$ si $A = A'$ . Dado que hay incontables conjuntos de primos, esto produce incontables subgrupos distintos del grupo contable $\mathbb{Q}$ .

Answer 2

Un ejemplo es el grupo formado por todos los subconjuntos finitos de $\mathbb N$ siendo la operación de grupo diferencia simétrica . El grupo es contablemente infinito, pero para cada finito o infinito $A\subseteq \mathbb N$ hay un subgrupo formado por los subconjuntos finitos de $A$ .

Answer 3

Hay otro: $F_\infty$ el grupo libre sobre un número contable de letras $x_1,x_2, \ldots$ .

Es contable porque cada uno de sus elementos es una cadena finita de símbolos de un alfabeto contable. Al mismo tiempo, para cada subconjunto $A\subset \mathbb{N}$ existe un subgrupo $H_A$ generado por el conjunto $\{x_i | i \in A\}$ . Estos subgrupos son distintos, por lo que tenemos un número incontable de ellos.

También, $F_\infty$ se incrusta en $F_2$ por lo que podemos obtener estos incontables subgrupos dentro de un grupo finitamente presentado.