Una prima $\mathcal P$ -filtro está contenido en un único $\mathcal P$ -¿ultrafiltro?

Question

Algunos antecedentes:

Dejemos que $\mathcal P$ sea una clase de subconjuntos de un espacio topológico tal que si $P_1$ y $P_2$ son conjuntos de $\mathcal P$ entonces $P_1\cap P_2$ y $P_1\cup P_2$ pertenecen a $\mathcal P$ . A $\mathcal P$ -filtro $\mathcal F$ es una colección de elementos no vacíos de $\mathcal P$ cerrado para intersecciones finitas y tal que para cualquier $P_1\in \mathcal F$ y $P_1\subseteq P_2\in \mathcal P$ tenemos $P_2\in \mathcal F$ .

A $\mathcal P$ -filtro $\mathcal F$ se dice que es primo si siempre que $P_1$ y $P_2$ pertenecen a $\mathcal P$ y $P_1\cup P_2\in \mathcal F$ entonces $P_1\in \mathcal F$ o $P_2\in \mathcal F$ . A $\mathcal P$ -ultrafiltro es sólo un máximo $\mathcal P$ -Filtro.

Mi pregunta es si todos los primos $\mathcal P$ -filtro contenido en un único $\mathcal P$ -¿ultrafiltro?; este es el ejercicio 12E.6 de la obra de Willard Topología general .

He demostrado que si $\mathcal F$ es un $\mathcal P$ -ultrafiltro y $P\in \mathcal P$ es tal que $P\cap F\neq \emptyset$ para todos $F\in \mathcal F$ entonces $P\in \mathcal F$ . Creo que esto se debe utilizar en la prueba pero no sé cómo.

Se agradecen todas las sugerencias.

Answer 1

En general es falso, creo, incluso para colecciones finitas.

La pregunta es realmente sobre retículos distributivos, como ya han dicho los comentaristas, y hay ejemplos estándar de retículos distributivos tales que un filtro primo no necesita ser extensible a un ultrafiltro único, sólo tengo que instanciar tal ejemplo como una colección de subconjuntos de un espacio topológico..:

Dejemos que $X = \mathbb{R}$ , digamos, y $\mathcal{P} = \{[0,9],[0,6],[3,9],[3,6],[3,5],[4,6],[4,5]\}$ (el diagrama de la red es un "doble diamante").

Entonces $\mathcal{F} = \{[0,9], [3,9]\}$ es un filtro primario, pero tanto $\mathcal{U} = \mathcal{P}\setminus \{[3,5],[4,5]\}$ y $\mathcal{U}' = \mathcal{P} \setminus \{[4,6],[4,5]\}$ son ultrafiltros que amplían $\mathcal{F}$ .

Answer 2

Es falso en general, e incluso para los casos que interesan a Williard.

Dejemos que ${\cal P}$ sea la colección de subconjuntos abiertos de la recta real. Sea ${\cal F}$ sea el filtro de los conjuntos abiertos que contienen 0. Este es claramente un filtro primo.

Ahora, todo conjunto de la forma $(0,\frac{1}{n})$ cruza cada elemento de ${\cal F}$ , por lo que hay un ultrafiltro abierto ${\cal F}_1$ que contiene ${\cal F}$ y también todo conjunto de esta forma.

Pero, del mismo modo, todo conjunto de la forma $(-\frac{1}{n},0)$ cruza cada elemento de ${\cal F}$ , por lo que hay un ultrafiltro ${\cal F}_2$ que contiene ${\cal F}$ y todo esto.

Claramente, ${\cal F}_1$ y ${\cal F}_2$ son diferentes y ${\cal F}$ está contenida en ambos.