$R/I$ no es noetheriano. Demostrar que $I$ es un ideal primo.

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con $1$ y que $I$ sea un ideal de $R$ , máxima con respecto a la propiedad de que $R/I$ no es noetheriano. Demostrar que $I$ es un ideal primo.

Necesito algunas pistas para empezar.

Answer 1

Dejemos que $a,b\in R$ tal que $ab\in I$ . Supongamos que $a\notin I$ y $b\notin I$ . Entonces $I\subsetneq (I:a)$ y $I\subsetneq I+(a)$ . Tenemos $R/(I:a)\cong (I+(a))/I$ Así que $R/(I:a)$ es un anillo noeteriano, o, de forma equivalente, un anillo noeteriano $R$ -módulo. En el otro lado, $\frac{R/I}{(I+(a))/I}\cong R/(I+(a))$ también es noetheriano, y por lo tanto se tiene un $R$ -y un módulo factorial de $R/I$ que son ambas noeterianas, por lo que $R/I$ es un noetheriano $R$ -módulo, es decir, un anillo noetheriano, una contradicción.

Answer 2

Sugerencia: Si $AB \subseteq I$ , estudia el $R$ -Módulo $(A+I)/I$