La existencia de una secuencia que tiene cada elemento de a $\mathbb N$ número infinito de veces

Question

Me preguntaba si una secuencia que tiene cada elemento de a $\mathbb N$ número infinito de veces existe ($\mathbb N$ incluye a $0$). Se siente como debería, pero sólo tengo un par de dudas.

Como, supongamos que $(a_n)$ es una secuencia. Encontrar el primer $a_i \not = 1$ y la próxima $a_j, \ \ j > i, \ \ a_j = 1$. Swap $a_j$$a_i$. Esto puede ser hecho infinidad de veces y la secuencia resultante ha $1$ en la posición $M \in \mathbb N$, no importa cuán grande $M$ es. Por lo tanto $(a_n) = (1_n)$.

También, considere la posibilidad de powerset de $\mathbb N, \ \ 2^{\mathbb N}$. Luego la forma de cualquier permutación de estos conjuntos, $(b_{n_{\{N\}}})$. Ahora simplemente acoplar este, tomar el primer elemento de $b_1$ y hacer un primer elemento de $a$ y continuar hasta llegar al final del primer set y, a continuación, el siguiente elemento en $a$ es el primer elemento de $b_2$... Pero de nuevo, si usted comienza con $\{1 | k \in \mathbb N\}$ (secuencia infinita de), obtendrá la misma como en el primer caso...

Usted no sería capaz de formar un bijection entre esta secuencia y una secuencia que muestra a cada número natural una vez, por si empezó a $(a_n)$ con listado de cada número natural una vez, usted podría ser capaz de asignar sólo el primer $\aleph_0$ elementos de $(a_n)$$\mathbb N$.

Pero considerar la expansión decimal de $\pi$. Qué contiene cada número natural infinitamente muchas veces?

Lo que no estoy de llegar aquí?

¿Qué sería de la cardinalidad de una secuencia, si se interpreta como un conjunto, ser?

Answer 1

$$\langle \underbrace{0}_{1\text{ term}},\underbrace{0,1}_{2\text{ terms}},\underbrace{0,1,2}_{3\text{ terms}},\underbrace{0,1,2,3}_{4\text{ terms}},\underbrace{0,1,2,3,4}_{5\text{ terms}},\dots\rangle$$

Cada una de las $n\in\Bbb N$ aparece en todos, pero el primer $n$ bloques, por lo tanto infinitamente a menudo.

Answer 2

Deje $f\colon\Bbb{N\to N\times N}$ ser un bijection, y deje $a_n$ ser el derecho de coordenadas de $f(n)$, $\langle a_n\mid n\in\Bbb N\rangle$ es una secuencia que cubre todos los elementos de a $\Bbb N$, y cada uno que aparece infinidad de veces.

Answer 3

Deje $a_n$ siendo el mayor número natural, $k$ tal que $2^k$ divide $n+1$