Respecto a las funciones de R² a R: continuidad y diferenciabilidad

Question

Sea $f : U \rightarrow \mathbb{R}$ donde $U \subseteq \mathbb{R}^2$ es un conjunto abierto y $P \in U$ .

Estoy casi seguro de que las siguientes afirmaciones son correctas, pero le ruego que me lo confirme:

1. El único requisito para $f$ para tener un plano tangente en $P$ es: $\exists \ \nabla f(P)$ (en otras palabras, tanto $\frac{\partial f}{\partial x}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ existen en $P$ . Edita: ¡las derivadas parciales deben ser continuas!

2. Si el plano tangente existe, todavía no necesariamente la función es continua en $P$ .

3. El enunciado 2 es de orden inverso: si la función es continua en $P$ pero no necesariamente existe el plano tangente.

4. Si la función resulta ser continua en $P$ pero no necesariamente la función es diferenciable en $P$ .

Y ahora, suponiendo que sean correctas, viene mi pregunta principal:

Si $f$ es continua en $P$ y $f$ tiene un plano tangente en $P$ ¿es posible que $f$ ¿todavía no es diferenciable?

Puede que haya entendido mal lo que dijo mi profesor, pero parece que la respuesta es sí. Si está de acuerdo, ¿puede dar al menos un ejemplo?

Gracias.

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EDITAR (Seis meses después): Esta pregunta me otorgó la insignia Tumbleweed y, después de seis meses, no ha habido ninguna respuesta, comentario o incluso voto. Hoy algo me ha hecho recordar esta pregunta. Afortunadamente, ya he hecho algunos progresos: He podido confirmar las afirmaciones 1, 3 y 4. Aún no he podido confirmar la afirmación 2, y mi pregunta principal también sigue en pie (la pongo en cursiva más arriba). Gracias por cualquier ayuda.

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EDIT 2 (28 de mayo): Gracias por la atención. He sentido la necesidad de citar a James Stewart en su definición de plano tangente:

Supongamos que f tiene derivadas parciales continuas. Una ecuación del plano tangente a la superficie $z = f(x, y)$ en el punto $P(x_0, y_0, z_0)$ es $$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$$

Por lo tanto, Stewart sólo necesita derivadas parciales continuas para definir el plano tangente.

Esto demuestra que estaba equivocado sobre mi enunciado 1 . Lo he editado ahora, añadiendo el requisito de "debe ser continua". Sin embargo, esto no cambia ninguna de mis otras ideas (todavía).

Me gustaría destacar que estoy considerando cualquier función rara que se te pueda ocurrir, no sólo funciones de la vida real y cosas así. En esta pregunta busco propiedades que se apliquen formalmente en cualquier caso.

Si alguien no está de acuerdo con que las afirmaciones 1, 3 y 4 sean ciertas, por favor, que lo comente para seguir debatiendo (¡quizás me he perdido algo!).

Ahora intentaré dar un ejemplo de lo que me hace creer en la afirmación 2: Por favor, corríjanme si me equivoco.

Toma esta extraña función:

$$ f(x, y)=\begin{cases} 0, & \text{if $x = 0$ or $y = 0$}.\\ \\ 1, & \text{otherwise}. \end{cases} $$

Con suerte, si no me equivoco, esta función es un ejemplo que demuestra que mi segunda afirmación es cierta (por favor, hágamelo saber si me equivoco).

Suponiendo que todo esté bien a estas alturas, no te olvides de mi pregunta principal:

Si $f$ es continua en $P$ y $f$ tiene un plano tangente en $P$ ¿es posible que $f$ ¿todavía no es diferenciable?

Answer 1

Como menciona Daniel en los comentarios, primero hay que definir muy bien qué se entiende por "plano tangente".

Así es como podría hacerlo: para cualquier curva diferenciable $\gamma: [-1,1]\to U,\ 0\mapsto P$ la tangente vector asociado a $\gamma$ si existe, viene dada por $$\frac{d}{dt}\left[\gamma(t), f(\gamma(t))\right]_{t\to 0}.$$

Yo diría que una tangente avión existe en $P$ si (i) el vector tangente existe para todo $\gamma$ y (ii) abarcan un espacio lineal bidimensional.

Existencia de las derivadas parciales $f_x$ y $f_y$ no es suficiente para garantizar ambas condiciones. Consideremos el contraejemplo estándar

$$f(x,y) = \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2}.$$

He aquí algunas $\gamma$ y sus vectores tangentes en $P=(0,0)$ : \begin{align*} (t,0) &: (1,0,0)\\ (0,t) &: (0,1,0)\\ (t,t^2) &: (1,0,-2) \end{align*} estos ya abarcan todo $\mathbb{R}^3$ por lo que no diría que existe un "plano" tangente en $P=0$ .

2. La existencia de un plano tangente significa que el límite de $f(x,y)$ a medida que se acerca $P$ a lo largo de cualquier ruta debe ser igual a $f(P)$ y así $f$ es continua.

3. Desde luego que no.

4. No.

Resumiendo:

$$\nabla f \textrm{ exists and continuous} \Rightarrow f\textrm{ differentiable} \Leftrightarrow \textrm{tangent plane exists} \Rightarrow \begin{cases}f_x, f_y \textrm{ exist}\\f \textrm{ continuous}\end{cases}$$