La función de Green en la ruta de abordaje integral (QFT)

Question

Después de haber estudiado canónica de la cuantización y la sensación (relativamente) cómodo con él, ahora he estado estudiando la ruta de abordaje integral. Pero no me siento completamente cómodo con.

Tengo la sensación de que el objetivo principal de la ruta integral de enfoque es calcular la función de Green: \begin{equation} G^{(n)}(x_1,\ldots,x_n) = \langle 0 | \mathcal{T} \{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n) \} |0\rangle = \left(\frac{1}{i}\right)^n \frac{\delta^n W[J]}{\delta J(x_1) \ldots \delta J(x_n)}\biggr|_{J=0} \end{equation} donde, por simplicidad, he considerado el neutro escalar campo $\phi$ $\mathcal{T}$ indica el tiempo en que el ordenamiento de operador. Tengo problemas comprender el significado físico de la función de Green.

Entiendo que para la cuantización canónica procedimiento, es decir, cuando se $\phi$ es un campo de operador, $G^{(n)}(x_1,\ldots,x_n)$ es el vacío expectativa de valor. Sin embargo, si he entendido correctamente, en la ruta integral de enfoque que considere la posibilidad de $\phi$ a ser un clásico de campo. No entiendo cómo la rima estas dos imágenes diferentes.

Además, para la cuantización canónica formalismo, podemos representar la S-matrix: \begin{equation} S_{fi} = \langle f | S | i \rangle \end{equation} por diagramas de Feynman. Por otro lado, para el camino-enfoque integral nos parecen representar a $G^{(n)}(x_1,\ldots,x_n)$ por los diagramas de Feynman. Hacer estas diagrama de Feynman para los dos diferentes enfoques de alguna manera representan la misma dispersión de la amplitud?

Básicamente, me siento como yo no puede ver el bosque por los árboles, y estoy esperando que alguien puede aclarar lo anterior descrito problemas.

P. S. hemos derivado la LSZ fórmula de reducción, y por lo tanto entiendo que en la canónica de cuantización formalismo podemos expresar el S-elementos de la matriz en términos de $G^{(n)}(x_1,\ldots,x_n)$. Sin embargo, nuestra profesora nos dijo que nadie realmente se utiliza la LSZ fórmula para fines prácticos, y por lo tanto no creo que esto responde a mis preguntas.

Answer 1

Buena pregunta; yo recuerdo pasar horas tratando de entender esto cuando me enteré QFT. Vamos a la dirección de sus dos principales puntos en la vuelta. En primer lugar, usted dice

No entiendo cómo la rima estas dos imágenes diferentes.

Vamos a describir el modo de conectar las dos imágenes en los pasos. Es un buen ejercicio para tratar y trabajar a través de todos los detalles sangrientos de ti mismo, así que os animo a probar!

1. Para cada admisible clásica de la configuración del campo de $\varphi:\mathbb R^3\to \mathbb R$, vamos a $|\varphi,t\rangle$ denotar una configuración del campo de eigenstate en el tiempo $t$. Es decir, \begin{align} \hat \phi(t,\mathbf x)|\varphi,t\rangle = \varphi( \mathbf x)|\varphi,t\rangle. \end{align} Tome nota especial de que el hecho de que $\hat\phi$ $\varphi$ son diferentes. El primero es un operador de valores de la distribución definida en el espacio-tiempo, mientras que el segundo es un clásico de configuración en el campo definido en el espacio de sólo.

2. Demostrar que, dado admisible clásica configuraciones del campo $\varphi_a,\varphi_b:\mathbb R^3\to \mathbb R$, no es un simple funcional de la expresión integral de los ordenados en el tiempo de expectativa de valor de $|\varphi_a, t_a\rangle$ $|\varphi_b, t_b\rangle$de el producto de una secuencia finita de los operadores de campo: \begin{align} \langle \varphi_b, t_b| T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]&|\varphi_a, t_a\rangle \\ &= \int\limits_{\phi(t_a,\mathbf x) = \varphi_a(\mathbf x)}^{\phi(t_b,\mathbf x) = \varphi_b(\mathbf x)} \mathscr D\phi \,\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\,e^{iS_{t_a,t_b}[\phi]} \tag{%#%#%} \end{align} donde hemos definido \begin{align} S_{t_a,t_b}[\phi] = \int_{t_a}^{t_b}dt\int d^3\mathbf x \,\mathscr L_\phi(t) \end{align} y $\star$ es el Lagrangiano de la densidad de la teoría.

3. Muestran que la expectativa de valor en el lado izquierdo de $\mathscr L_\phi$ puede ser utilizado para calcular la correspondiente vacío expectativa de valor (vev); \begin{align} \lim_{t\to(1-i\epsilon)\infty} \frac{\langle \varphi_b, t| T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]|\varphi_a, -t\rangle}{\langle \varphi_b, t |\varphi_a, -t\rangle} &= \langle 0|T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]|0\rangle \end{align} donde $(\star)$ es positiva "infinitesimal" (es decir, de tomar la $\epsilon$ límite al final). Esto es a menudo llamado el $\epsilon\to 0$ receta; aviso es básicamente un truco para proyectar el estado del suelo a partir de una expectativa de valor.

4. Observe que la integración funcional en el lado derecho de la $i\epsilon$ puede ser escrito como \begin{align} \int\limits_{\phi(t_a,\mathbf x) = \varphi_a(\mathbf x)}^{\phi(t_b,\mathbf x) = \varphi_b(\mathbf x)} \mathscr D\phi \,\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\,e^{iS_{t_a,t_b}[\phi] }=\left(\frac{1}{i}\right)^n \frac{\delta^n Z_{t_a, \varphi_a, t_b, \varphi_b}[J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0} \end{align} donde hemos definido \begin{align} Z_{t_a, \varphi_a, t_b, \varphi_b}[J] = \int\limits_{\phi(t_a,\mathbf x) = \varphi_a(\mathbf x)}^{\phi(t_b,\mathbf x) = \varphi_b(\mathbf x)} \mathscr D\phi \,e^{iS_{t_a,t_b}[\phi]+ i\int_{t_a}^{t_b}\int d^3\mathbf x\,J(x)\phi(x)} \end{align}

5. Combinar los pasos 2 a 4 para demostrar que si definimos \begin{align} W[J] = \lim_{t\to(1-i\epsilon)\infty}\frac{Z_{t_a, \varphi_a, t_b, \varphi_b}[J]}{Z_{t_a, \varphi_a, t_b, \varphi_b}[0]}, \end{align} a continuación, obtenemos la expresión que da al vacío expectativa de valores en términos de las integrales de camino: \begin{align} \langle 0|T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]|0\rangle &= \left(\frac{1}{i}\right)^n \frac{\delta^n W[J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0} \end{align}

Observe que \begin{align} G^{(n)}(x_1, \dots, x_n) = \langle 0|T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]|0\rangle \end{align} es sólo una sugerente definición que nos hace pensar en funciones de Green. Es sugerente porque, por ejemplo, $(\star)$, el llamado "dos-punto de la función," es la función de Green para la correspondiente clásica de la teoría de campo.

En segundo lugar, pedir

Hacer estas diagrama de Feynman para los dos diferentes enfoques de alguna manera representan la misma dispersión de la amplitud?

La LSZ fórmula de reducción es la respuesta a la pregunta de cómo vevs, o, equivalentemente, funciones de Green, están relacionados con la $G^{(2)}(x_1, x_2)$-matriz y la dispersión de las amplitudes, y encima hemos argumentado cómo el formalismo canónico (que es formulado en términos de vevs) está relacionada con la integral funcional formalismo, por lo que hemos encontrado cómo la integral funcional formalismo nos permite calcular el $S$-matriz. En la práctica, es cierto, que no ve a la gente de forma explícita el uso de la LSZ fórmula de reducción, pero eso es porque a pesar de que conceptualmente subyace en la relación entre las funciones de Green y el $S$-matriz, en la práctica, las personas ya han utilizado LSZ para justificar reglas codificadas, es decir, reglas de Feynman, que permiten ir directamente a partir de los diagramas de Feynman (que simplemente representan los términos en los perturbativa de las expansiones de las integrales de Feynman) a la dispersión de las amplitudes.