$\lim_{x\to +\infty}\frac{x^x}{(\lfloor x \rfloor)^{\lfloor x \rfloor }}$

Question

Determinar si existen los siguientes límites

$$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^x}{(\lfloor x \rfloor)^{\lfloor x \rfloor }}$$

tenga en cuenta que

$\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1 \implies x-1 <\lfloor x \rfloor \leq x$

y $x^x=\exp(x\log x)$

$$\dfrac{1}{x^{\lfloor x \rfloor}} \le \dfrac{1}{\lfloor x \rfloor}< \dfrac{1}{(x-1)^{\lfloor x \rfloor}}$$

$$\dfrac{x^x}{x^{\lfloor x \rfloor}} \le \dfrac{x^x}{\lfloor x \rfloor}< \dfrac{x^x}{(x-1)^{\lfloor x \rfloor}}$$

Editar

Deje $f(x)=\dfrac{x^x}{(\lfloor x \rfloor)^{\lfloor x \rfloor }}$, ya $x^x$ sólo se define para $x\geq 0$, $f$ se define en $\mathbb{R}^{*}_{+}$,

• Caso 1: $x\in \mathbb{N}^{*}$ $$\dfrac{x^x}{(\lfloor x \rfloor)^{\lfloor x \rfloor }}=1$$

  Por lo que un posible límite puede ser $1$

• Caso 2: otherswises

si elegimos $x=n+0,5$, tenemos

\begin{align*} f(x)&=\exp((n+0,5)\log(n+0,5)-n\log(n)\\ &=\exp(n(ln(n+0,5)-ln(n))+0,5ln(n+05))\\ &\geq \exp(0,5\log(n+05)) \end{align*}

o $\exp(0,5\log(n+05))\to \infty$ al $x\to \infty$

• $\forall\quad 0<\epsilon<1$, vamos a $W_n=f(n+\epsilon)$

tenemos $$ \begin{align*} ln(W_n)&=(n+\epsilon)ln(n+\epsilon)-nln\\ &=n(ln(n+\epsilon)-ln(n))+\epsilon ln(n+\epsilon)\\ &\geq \epsilon ln(n+\epsilon) \end{align*} $$

a continuación, $$\lim_{x\to +\infty}W_n=+\infty $ $

por lo tanto $$\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty $$

por lo tanto, la función de $f$ no tiene un límite real como $x$ tiende a infinito

Answer 1

Deje $f(x)=\frac{x^x}{\left ( \lfloor x \rfloor \right )^{\lfloor x \rfloor}}$. Si $\lim_{x \to \infty} f(x)$ existe, debe ser de $1$, porque podemos ir a $\infty$ a lo largo de la secuencia de $x_n = n$ donde $f(x_n)=1$. En cada intervalo de $[n,n+1)$, el más alejado $f$ obtiene a partir de a $1$ va a ocurrir cerca de las $n+1$. Más precisamente, podemos hacer $f$ ser arbitrariamente cerca, pero menos de $\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}$ tomando $x$ arbitrariamente cerca de $n+1$. Ahora vamos a hacer algo de álgebra:

$$\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \frac{(n+1)^n}{n^n} = (n+1) \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n.$$

De manera que la gráfica de $f$ se parece a esto. $f(n)=1$ para cada entero positivo $n$. Como $x$ enfoques $n+1$, $f(x)$ aumenta hasta casi el $(n+1)e$. A continuación, el gráfico cae a $1$$n+1$, etc. Así que el límite no existe; de hecho, $f$ no es aún limitada.

Answer 2

Deje $x=n+a$,$n\in\mathbb N$$a\in[0,1)$. Si $a>0$

$$\dfrac{x^x}{\lfloor x\rfloor^{\lfloor x\rfloor}}=\biggl(1+\dfrac an\biggr)^n\biggl(1+\dfrac an\biggr)^a\,n^a\,,$$

cuyo límite al $n$ tiende a $\infty$ es igual a $e^a\cdot1\cdot\infty=\infty$; por otro lado, si $a=0$, entonces la expresión es constante es igual a $1$ todos los $n$.

Answer 3

Deje $\epsilon>0$ ser fijo y pequeño, y $x$ es un número entero más $\epsilon$.

$$\frac{\frac{x^x}{(x-\epsilon)^{(x-\epsilon)}}}{xe^{\epsilon}}=\frac{x}{xe^{\epsilon}(1-\frac{\epsilon}{x})^{\frac{x}{\epsilon}\frac{\epsilon(x-1)}{x}}}\rightarrow 1\text{ as }x\to\infty$$

Desde $xe^{\epsilon}\to\infty$$x\to \infty$, obtenemos que

$$\frac{x^x}{\lfloor x\rfloor^{\lfloor x\rfloor}}=\frac{x^x}{(x-\epsilon)^{(x-\epsilon)}}\to\infty$$

Si $y$ es un número entero entonces

$$\frac{y^y}{\lfloor y\rfloor^{\lfloor y\rfloor}}=1.$$