Dados los enteros $x_1, x_2, \dotsc, x_n$ demostrar que la expresión $$ \prod \limits_{1\leq i<j\leq n}\frac{x_i - x_j}{i-j} $$ es siempre un número entero.
Creo que la inducción debería funcionar, pero no he conseguido nada con ella.
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SUMIT MITRA
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No conozco una forma realmente fácil de demostrar este hecho, pero aquí hay una posible prueba. El producto $\prod_{1\leq i<j\leq n}(i-j)=\prod_{i=1}^ni!$ es un superfactorial. La idea es que $\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)$ es un determinante de Vandermonde, es decir, un determinante de la matriz:
$$\begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2\cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2\cdots & x_2^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2\cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix}.$$
La clave está en que aplicando operaciones de columna a la matriz anterior, podemos transformarla el determinante de:
$$\begin{pmatrix} 1 & p_1(x_1) & p_2(x_1)\cdots & p_{n-1}(x_1)\\ 1& p_1(x_2) & p_2(x_2)\cdots & p_{n-1}(x_2)\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 1 & p_1(x_n) & p_2(x_n)\cdots & p_{n-1}(x_n) \end{pmatrix},$$
donde $p_i(x)$ es cualquier colección de polinomios que son mónicos (con coeficiente principal 1). En este caso se puede elegir $p_i(x)=x(x-1)\cdots (x-i+1)=\binom{x}{i}i!$ . Así, el producto $\prod_{i=1}^ni!$ factores y te quedas con un determinante de los coeficientes binomiales, que es un número entero.
