¿Cómo dar especificaciones "categóricas" de categorías como Grp?

Question

Algunos tipos de categorías (como las categorías abelianas) se especifican enumerando un conjunto de propiedades "categóricas" que debe tener la categoría. Por ejemplo, podemos exigir que la categoría tenga productos finitos, o que todos los monomorfismos sean normales. A veces, si se exige un número suficiente de estas propiedades, se puede especificar de forma única una categoría hasta la equivalencia. (Podría ser la categoría de un objeto y un morfismo, por ejemplo).

¿Existe alguna forma de enumerar las propiedades categóricas que especifican de forma exclusiva categorías comunes como $\mathbf{Grp}$ , $\mathbf{Vect}$ ¿ etc.?

Aunque esta pregunta no es del todo formal (por ejemplo, ¿qué significa enumerar propiedades "categóricas"?), espero que quede claro el tipo de respuesta que busco. Supongo que me gustaría que las especificaciones de las categorías utilizaran propiedades "agradables", en lugar de limitarse a decir " $\mathbf{Grp}$ es la categoría cuya estructura de morfismos es exactamente la dada por [grupos y morfismos de grupo]". (Soy consciente de que $\mathbf{Grp}$ puede definirse como la subcategoría completa de Cat cuyos objetos son grupos, pero esto no es lo que estoy buscando).

Agradecería una formalización de la pregunta tanto como una respuesta.

Gracias.

Answer 1

Este es un posible punto de partida. $\text{Grp}$ así como otras categorías familiares de objetos algebraicos como $\text{Vect}$ o $\text{Ring}$ se distinguen de las categorías arbitrarias por el hecho de que son categorías de modelos de Teorías de Lawvere en $\text{Set}$ . Esta es una forma categórica de hablar del álgebra universal.

Una caracterización categórica de tales categorías es conocido : tales categorías $C$ debe

• ser cocompleto
• admitir un objeto $F$ tal que $\text{Hom}(F, -)$ conserva colimitas cribadas y tal que cada objeto en $C$ es un colímite tamizado de coproductos finitos de copias de $F$ .

$F$ termina siendo el objeto libre en un conjunto de un elemento, por lo que en el caso de $\text{Grp}$ es $\mathbb{Z}$ . Dada una elección fija de $F$ la teoría de Lawvere correspondiente puede tomarse como opuesta a la subcategoría completa de $C$ en los coproductos finitos de las copias de $F$ .

A partir de aquí el problema se convierte en caracterizar la teoría de grupos de Lawvere entre todas las teorías de Lawvere.

Un hecho estrechamente relacionado es que $\text{Grp}, \text{Vect}, \text{Ring}$ también son todos monádico sobre $\text{Set}$ y también se conoce una caracterización categórica de esta condición.

Answer 2

Si estás dispuesto a trabajar con categorías concretas, hay un hack que parece hacer lo que quieres. Toma $\mathbf{Mon}$ por ejemplo. Lo sabemos:

• $\mathbf{Mon}$ es una categoría.

• Hay un functor olvidadizo $U : \mathbf{Set} \leftarrow \mathbf{Mon}$ .

• Hay una transformación natural $\mu:U \Leftarrow U \times U$ que nos indican cómo multiplicar los elementos de un grupo.

• Hay una transformación natural $\eta:U \Leftarrow 1$ que nos dice cuál es el elemento identidad de cada monoide.

• Lo siguiente se mantiene:

  1. La asociatividad. Para cada $X:\mathbf{Mon}$ y todos $x,y,z \in UX$ tenemos $\mu_X(\mu_X(z,y),x) = \mu_X(z,\mu_X(y,x)).$

  2. Unidad. Para cada $X:\mathbf{Mon}$ y todos $x \in UX$ tenemos $\mu_X(x,\eta(*)) =x$ y $\mu_X(\eta(*),x)$ , donde $*$ es el único elemento del conjunto $1$ .

Así que por un candidato a la categoría de los monoides, nos referimos a una categoría $\mathbf{C}$ junto con un functor de olvido $U : \mathbf{Set} \leftarrow \mathbf{C}$ junto con dos transformaciones naturales $\mu : U \Leftarrow U \times U$ y $\eta : U \Leftarrow 1$ , tal que los axiomas anteriores se mantienen. Hay una noción obvia de morfismo entre tales cosas, y parece ser el caso que $\mathbf{Mon}$ es el candidato terminal para la categoría de los monoides.

Esto nos da una forma de explicar de dónde vienen ciertos funtores olvidadizos. Por ejemplo, podemos ver $\mathbf{Ring}$ como candidato a la categoría de monoides, por lo que hay un morfismo único $\mathbf{Mon} \leftarrow \mathbf{Ring},$ que es el functor de olvido pertinente.