solución a $ 7^{a}+1 =3^{b}+5^{c} $ natural $a$,$b$ y $c$

Question

¿Cómo puedo solucionar $ 7^{a}+1 =3^{b}+5^{c} $ natural $a$,$b$ y $c$?Todo lo que tengo después de algunos aritmética modular es que el $a$,$b$ y $c$ son de todos los impares.El problema fue publicada en el Arte de la Resolución de problemas(sin respuestas hasta ahora) y es supuestamente de la India Olimpiada Internacional de Matemáticas Campamento de Entrenamiento.Me preguntaba si alguien podría por favor, arrojar algo de conocimiento en cuanto a si se puede resolver.

Gracias.(Yo soy un poco escéptico acerca de este problema, aunque puedo estar equivocado)

Answer 1

Parece como si el problema puede ser conquistado por el uso persistente de la aritmética modular. De todo, se supone que $a,b,c$ son suficientemente grandes.

1. Se aplican $\bmod{3}$ encontrar que $$ 2 \equiv 2^c \pmod{3} $$ De ello se desprende que $c \equiv 1 \pmod{2}$. Escribir $c = 2c_1 + 1$.
2. Se aplican $\bmod{8}$ encontrar que: $$ (-1)^a + 1 \equiv 3^b + 5 \pmod{8} $$ De ello se desprende que $a \equiv b \equiv 1 \pmod{2}$. Escribir $a = 2a_1 + 1, \ b = 2b_1 + 1$.
3. Se aplican $\bmod{5}$ encontrar que: $$ 2 \cdot (-1)^{a_1} +1 \equiv 3 \cdot (-1)^{b_1} \pmod{5} $$ De ello se desprende que $a_1 \equiv b_1 \equiv 0 \pmod{2}$. Escribir $a_1 = 2a_2,\ b_1 = 2b_2$. Th

4. Se aplican $\bmod{16}$ encontrar que: $$ 7+1 \equiv 3 + 5 \cdot 9^{c_1} \pmod{16} $$ De ello se desprende que $c \equiv 0 \pmod{2}$. Escribir $c_1 = 2c_2$. La ecuación es ahora: $$ 7^{4a_2 + 1} + 1 = 3^{4b_2+1} + 5^{4c_2+1} $$

5. Se aplican $\bmod{13}$ [nota: el número de $13$ proviene de la observación de que $5^4 \equiv 1 \pmod{13}$ $\phi(13) = 12$ es divisible por $4$] para encontrar que: $$ 7^{4a_2 + 1} + 1 \equiv 3^{4b_2+1} + 5 \pmod{13} $$ Por el teorema de Fermat, sólo los residuos de $4a_2 + 1$ $4b_2+1$ en aritmética $\bmod \phi(13)$ jugar un papel en el sobre de la congruencia, por lo que acabamos de $\frac{\phi(13)}{\gcd(4,\phi(13))} = 3$ valores de $a_2,b_2$ a comprobar. Resulta que $a_2,b_2 \equiv 0 \pmod{3}$ son las únicas soluciones. Escribir $a_2 = 3 a_3$$b_2 = 3b_3$. La ecuación es ahora: $$ 7^{12a_3 + 1} + 1 = 3^{12b_3+1} + 5^{4c_2+1} $$

6. Se aplican $\bmod{9}$ encontrar que: $$ 7 + 1 \equiv 5\cdot4^{c_2} \pmod{9} $$ Mediante la comprobación de la $6$ posibles valores de $c_2$, uno encuentra que las $c_2 \equiv 2 \pmod{3}$. Escribir $c_2 = 3c_3 + 9$. La ecuación es ahora: $$ 7^{12a_3 + 1} + 1 = 3^{12b_3+1} + 5^{12c_3+9} $$

7. Se aplican $\bmod{37}$. De nuevo, es una conjetura razonable debido a $\phi(37) = 36$ tiene muchos factores comunes con el $12$ que se produce en el exponenciales, por lo que el resultado de la congruencia sólo depende de $a_3,b_3,c_3 \pmod{3}$. Una vez mudane [aconsejo no intentar hacerlo a mano] directa de verificación demuestra que no hay soluciones.

8. Hemos demostrado que no hay soluciones con la suposición de que todos los números son "lo suficientemente grande". Uno debe comprobar lo grande que los números realmente tiene que ser, y de buscar soluciones pequeñas. Esto será mucho más fácil, ya que al menos uno de $a,b,c$ se fija en algún pequeño valor. Sin embargo, una gran cantidad de casos.