Comprobar si un punto está dentro de un rectángulo (sin conocer las coordenadas, pero conociendo las distancias a los vértices)

Question

Tengo que resolver el siguiente problema: Tengo 4 puntos (A, B, C, D) que forman un rectángulo, pero no conozco sus coordenadas. Tengo otro punto (X), del que tampoco conozco sus coordenadas, pero conozco las distancias entre el punto X y los otros 4 puntos (XA, XB, XC, XD). Necesito saber si X está dentro de un rectángulo formado por A, B, C, D. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Parece que es imposible saber con seguridad si X está dentro. Por ejemplo, si tuviéramos un rectángulo ABCD y un punto X dentro de él, WLOG para que la distancia vertical de X a CD sea menor que la distancia vertical de X a AB, creando un nuevo rectángulo ABEF con EF paralelo a AB y CD, pero EF debajo de X con la misma distancia vertical crea un nuevo rectángulo con exactamente las mismas distancias a los vértices, pero con X fuera.

(Baja calidad de imagen, por lo que dudo en poner una foto. Pero también pensé que mi explicación anterior era algo confusa, así que también publiqué esto).

Answer 2

No es posible en general:

A . . . . . D . . A'
.           .     .
.           .     .
B . . . . . C . . B'

Dejemos que $X$ sea el centro de $ABA'B'$ . Entonces $XA=XA'$ y $XB=XB'$ , y por supuesto $XC=XC$ y $XD=XD$ . Pero para la elección adecuada de $C$ y $D$ , $X$ está dentro $ABCD$ pero no $A'B'CD$ .

Answer 3

Para cualquier punto $X$ dentro del rectángulo, excepto el centro del rectángulo, existe otro rectángulo, que tiene las mismas distancias de vértices a X, pero no contiene $X$ . Se puede construir reflejando una de las aristas del rectángulo mediante un eje paralelo a la arista y que pase por $X$ .

Lo contrario también es cierto: se puede hacer una construcción inversa para el $X$ fuera de un rectángulo para encontrar un rectángulo apropiado que contenga $X$ . Si $X$ se encuentra "frente a alguna arista", no a una esquina, es decir, cuando $X$ se encuentra entre dos líneas paralelas que contienen dos lados opuestos de un rectángulo, bastará con reflejar un lado. Si $X$ es "opuesto a una esquina", es decir, se encuentra en el ángulo vertical a la esquina del rectángulo (véase https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vertical_angles.svg ), se necesitan dos reflejos de este tipo para dos lados adyacentes del rectángulo.

Como resultado,

• si tres de los cuatro $AX$ , $BX$ , $CX$ , $DX$ las distancias son iguales, entonces $X$ es un centro de la $ABCD$ rectángulo (y la cuarta distancia debe ser igual a esas tres también), por lo que sabes que está dentro.
• En cualquier otro caso no se puede saber si $X$ está dentro o fuera del rectángulo, porque existen dos rectángulos $ABCD$ , $A'B'C'D'$ con las mismas distancias de sus respectivos vértices al punto dado: $AX=A'X$ , $BX=B'X$ , $CX=C'X$ , $DX=D'X$ un rectángulo que contiene $X$ y el otro la falta.

Answer 4

Supongo que los cuatro puntos dados son tan dados como cuatro árboles en un paisaje formando un rectángulo no degenerado. Si su pregunta no se pudiera decidir esto significaría que tenemos cuatro círculos diferentes que se cruzan en al menos dos puntos diferentes $P$ , $Q$ . Pero esto implicaría que los cuatro círculos tienen su centro en la mediana $m$ de $P$ y $Q$ , al contrario de lo que se suponía.