¿Cuál es la clase de funciones continuas $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacer
$f(x)-f(y)\in\mathbb{Q}$ si y sólo si $x-y\in \mathbb{Q}$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $t$ ser un número racional. Considere la función $g(x)=f(x+t)-f(x)$. A continuación, $g$ es continua y toma sólo valores en $\mathbb Q$, lo $g$ es constante. De ello se desprende que $g(x)=g(0)=f(t)-f(0)=c(t)$.
Así tenemos
$$ f(x+t)=f(x)+c(t) \etiqueta{1} $$
para cualquier real $x$ y racional $t$. A continuación, $c$ es, sin duda lineal, por lo que hay una $r\in {\mathbb Q}$ tal que $c(t)=rt$ para cualquier racional $t$. Por lo $f(t)=f(0)+rt$ tomando $x=0$$1$.
La continuidad de $f$ implica entonces que $f(t)=f(0)+rt$ todos los $t$. Por el contrario, las funciones de este formulario son claramente soluciones.
ACTUALIZACIÓN (en respuesta a un comentario) : he aquí una explicación más detallada de qué $c$ es lineal.
Tenemos $c(t_1+t_2)=f(t_1+t_2)-f(0)$ (tome $x=0$ en (1)), y $c(t_1)=f(t_1)-f(0)$ (tome $x=0$ en (1)), $c(t_2)=f(t_1+t_2)-f(t_1)$ (tome $x=t_1$ en (1)). Así $c(t_1+t_2)=c(t_1)+c(t_2)$.
