Los enfoques exitosos para la modelización de la "aleatoriedad"

Question

Si tienes que elegir un número $x$ al azar de $[0,100]$, podríamos decir que la probabilidad de $x>50$$1/2$, ¿verdad?

Esto es debido a que hemos supuesto que al azar significaba que el experimento consistía en elegir un punto de $[0,100]$ (con números distribuidos por igual). Pero, puesto que el $f(r)=r^2$ es un bijection $[0,10] \rightarrow [0,100]$, también podemos elegir un número $r$ $[0,10]$ y, a continuación, do $x=r^2 \in [0,100]$ y dejar que sea nuestro aleatorio del experimento. Esta vez $x>5$$r> \sqrt{50} \sim 7.07$.

En este caso estaríamos de acuerdo en que la primera forma de la elección de $x$ parece mucho más natural. Así que sería igualmente de acuerdo en que es una exitosa manera de modelar el experimento de elegir un número aleatorio entre [0,100]".

Hay a veces cuando ni siquiera podemos estar de acuerdo en eso! Por ejemplo, en Bertrand de la Paradoja que se nos pide elegir una al azar de acordes de una circunferencia y calcular la probabilidad de que es más largo que el lado del triángulo equilátero inscrito. El punto es que hay varios (a priori) natural maneras de elegir los acordes (tres de ellos están muy bien descrito aquí) que, por supuesto, producir diferentes probabilidades.

Cómo y cuándo se puede considerar que algo es verdaderamente aleatorio? Tiene aún ningún sentido decir que algo es verdaderamente aleatorio o es más una cuestión de acuerdo?

Hay alguna convención en la comunidad matemática acerca de este tema?

Podríamos decir que el común de la noción de aleatoriedad se refiere a la noción de distribución uniforme?

¿Hay algún éxito de los enfoques sobre los modelos acerca de la aleatoriedad? (Que nos permiten decidir si una determinada distribución representa la aleatoriedad en el sentido de ser una distribución uniforme)

Por ejemplo, en los comentarios se dice: "se puede demostrar que [el uso de la Complejidad de Kolmogorov] que un número en [0,1] es al azar con una probabilidad de 1 en virtud de la distribución uniforme, por lo que es coherente con otras nociones."

Answer 1

Una forma de interpretar su motivación ejemplos no es que la palabra azar está mal definida (todos los de la teoría de la probabilidad estaría de acuerdo con eso), sino que desea una matemáticamente natural de la caracterización y la generalización de la noción de una distribución uniforme. En ese caso, la respuesta podría ser que la medida de Haar en la Mentira de los grupos (entre otras cosas). Esta es una medida que es invariante bajo la acción del grupo, y si se limita a un conjunto compacto que se puede normalizar en forma de una distribución de probabilidad.

Por ejemplo, los números reales forman una Mentira grupo en adición, y la correspondiente medida de Haar es nada, pero el habitual uniforme medida en $\mathbb R$, que se limitó a $[0,100]$ conduce a una distribución uniforme en el mismo. Se puede decir que la distribución producida por uniformemente escoger un número en $[0,10]$ y el cuadrado no es uniforme, ya que no es invariante bajo la adición (la probabilidad de $[20,30]$ no es igual a la probabilidad de $[20,30]+40 = [60,70]$).

Del mismo modo, cuando se trata de rectas en el plano, la Mentira del grupo es la Euclídea grupo de movimientos rígidos en el plano, que viene equipado con una medida de Haar. Esto induce a una medida en el espacio de las líneas que es invariante a la traslación y la rotación. Cuando se limita a las líneas que cruzan de un determinado círculo, se le da algo que podría objetivamente llamada "la" distribución uniforme sobre los acordes del círculo. Esto corresponde a escoger el ángulo y la distancia desde el centro de manera uniforme, y los partidos de Jaynes' solución utilizando el principio de máxima ignorancia.

El campo de la integral de la geometría trata exactamente este tipo de cosas: las propiedades de los objetos geométricos en virtud de medidas que son invariantes para el grupo de simetría de la geometría del espacio. Tiene muchos resultados interesantes, tales como la Crofton fórmula, que indica que la longitud de una curva es proporcional al número esperado de veces que un "random" de la línea cruza. Por supuesto, esto no puede ser un teorema sin precisamente la formalización de lo que significa para una línea al azar.

Answer 2

Cuando alguien dice "al azar" debe haber una distribución que va junto con él. En tu ejemplo, para recoger un random$x$$[0,100]$, se supone que usted escoja $x$ a través de una uniforme distribución. Por supuesto, como usted ha señalado, el uso de una distribución diferente le dará un resultado diferente.

El punto es, "al azar" de las necesidades de distribución de definir.

Answer 3

Un abuso de lenguaje, es decir, "vamos a $x$ ser un azar foo" cuando uno realmente quiere decir "vamos a $x$ ser una variable aleatoria distribuida uniformemente sobre todos los foo".

También es común el abuso de la utilización de un lenguaje "al azar" para significar "algo que parece muy difícil de predecir".

El fundamento básico detrás de la aplicación de las distribuciones de probabilidad de mundo real observaciones es realmente una cuestión de la metafísica, no de las matemáticas.

Answer 4

Si nos fijamos en dados o un pseudo-algoritmo de generación de números aleatorios, necesitamos saber las leyes (física o algoritmo) y las condiciones iniciales para predecir el resultado.

Basado en esto, aquí va mi intento de definir la aleatoriedad:

Si la función del $f\left( x_1, x_2, \ldots \right)$ valor no puede ser predicho, mientras que el conocimiento de los valores de todas las variables $x_1, x_2, \ldots$, entonces el valor de la función es un número aleatorio.

Cualquier comentario sobre este son bienvenidos.

Números verdaderamente aleatorios en la vida real

No estoy de acuerdo que realmente un número aleatorio es imposible.

Sería difícil creer que un algoritmo determinista podría producir resultados aleatorios. Pero un algoritmo no es la única manera de producir un número. Usted necesidad justa de asignar números a los posibles resultados de algún proceso aleatorio para obtener números aleatorios. En la física cuántica el resultado de un experimento es aleatorio.

Ejemplo 1

Estado de una partícula es descrito por la función de onda $\psi \left( q \right)$. La probabilidad de encontrar la partícula en algún lugar de $\delta$$\int\limits_\delta \left| \psi \left( q \right) \right| ^2 dq$. Si se realizan muchos experimentos, obtendrás resultados distribuidos de acuerdo a la $\left| \psi \left( q \right) \right| ^2$. Pero el resultado de un experimento es un número aleatorio a partir de la distribución.

Ejemplo 2

Veamos otra situación experimental: la luz viaja a lo largo de $z$ eje y está polarizada a lo largo de $x$ eje. Se cae en un polarizador cuyo eje de polarización no es el mismo $x$ eje. Por simplicidad, vamos a poner nuestra polarizador, de modo que el ángulo entre el eje y $x$ eje $\pi/4$. En ese caso la mitad de la luz pase a través, y la mitad es absorbida. para fotones individuales que significa que un fotón de forma aleatoria ser absorbidos o que a través de la con igual probabilidad.

El segundo experimento es casi el mismo lanzamiento de la moneda, pero, al lanzar la moneda, uno podría pensar

si yo pudiera conocer de forma precisa la velocidad inicial y la posición y todo lo demás, podía predecir la posición final sin ningún tipo de aleatoriedad

pero en el caso de los fotones no hay variables subyacentes, el resultado de un experimento es fundamentalmente impredecibles (al azar), sin embargo, el resultado de muchas (infinitas), los experimentos enfoque de la distribución 50/50.

Además, los procesos en la atmósfera son muy inestables, por lo que algunos pequeños cuántica aleatoriedad en realidad podría ser suficiente para hacer una macroscópico resultado aleatorio.

Answer 5

Yo recomendaría buscar en:

La complejidad de Kolmogorov $K(x)$ mide la cantidad de información contenida en un objeto individual $x$, por el tamaño del más pequeño programa que genera.

La entropía de Shannon $H(X)$ de una variable aleatoria $X$ es una medida de su promedio de incertidumbre. Es el número más pequeño de bits requiere, en promedio, para describir a $x$, la salida de la variable aleatoria $X$.

Aquí hay dos referencias para su revisión complejidad de Kolmogorov y Shannon de la entropía y la Entropía de Shannon.

Hoy en día, la mayoría de las personas se casan este en la Teoría de la Información.

Los números aleatorios son muy importantes en muchos campos, y en particular para aplicaciones criptográficas (desde la adquisición de este mal podría hacer un sistema seguro inseguro). Yo recomendaría buscar en los papeles y el código para DIEHARDER y TESTU01 y hay interesantes ponencias y resultados de pseudo-Rng y cripto-fuerza generadores de números aleatorios.

Números aleatorios, como se están encontrando, son un ámbito muy complejo y es una gran idea a la pregunta de ellos.

Aquí está una Lista de generadores de números aleatorios para su lectura. Usted también puede tener una mirada en el Manual de Criptografía Aplicada - HAC para algunos crypto relacionados.

Saludos