Cómo dar una prueba matemática de que para todas las raíces complejas de $x^5-x^ 4+2x^3+x^2+x+1=0$ , su parte real es menor que 1, y hay al menos una raíz cuya parte real es mayor que 0. Si es posible, no resolver ninguna ecuación algebraica cuyo grado sea mayor que 3.
Para las raíces reales, sería fácil estimarlas observando la derivada y el teorema del valor intermedio. ¿Y las raíces complejas? No encuentro la manera de hacerlo probando el teorema de Rouché.
Ya que tenemos tiempo, consideremos primero aproximaciones numéricas de las raíces para verificar que la afirmación es probablemente cierta:
-0.030123633319861776 + 0.7941475177755543 i
-0.030123633319861776 - 0.7941475177755543 i
-0.6325536017497507
0.8464004341947371 + 1.3366723150584239 i
0.8464004341947371 - 1.3366723150584239 iasí que tienes 3 raíces con parte real negativa, y dos con parte real positiva más pequeña 1.
El medio plano a la izquierda de la línea $Re(z)=1$ viene dada por la ecuación $|\frac{z}{z-2}|<1$ o, en general, de los puntos en los que la distancia a $1-a$ es menor que la distancia a $1+a$ para algunos $a>0$ .
Establecer $w=\frac{z}{z-2}$ entonces $z=\frac{2w}{w-1}$ y $$ g(w)=(w-1)^5f(\tfrac{2w}{w-1})=39w^5 - 41w^4 + 50w^3 - 22w^2 + 7w - 1 $$ Ahora sólo queda demostrar que el radio de la raíz de este polinomio es menor que $1$ . Esto puede hacerse mediante 2 iteraciones Dandelin-Graeffe que dan $$ g_1(x^2)=g(x)g(-x),\; g_1(x)=-1521w^5 - 2219w^4 - 1242w^3 - 134w^2 - 5w + 1\\ g_2(x^2)=g_1(x)g_1(-x)\; g_2(x)=-2313441w^5 + 1145797w^4 - 963082w^3 + 1098w^2 - 293w + 1 $$ donde ahora se puede aplicar Rouche. Sin embargo, eso no es muy amigable para los cálculos manuales.
De las soluciones numéricas se desprende que dos raíces deben estar en el semiplano $Re(z)>1/2$ . Utilizando $w=\frac{z-1}z$ esto se traduce en los puntos donde $|w|<1$ . Utilizando $z=\frac1{1-w}$ da $$ g(w)=(1-w)^5f(\tfrac{1}{1-w})=-w^5 + 6w^4 - 15w^3 + 21w^2 - 15w + 5 $$ y una iteración de Dandelin-Graeffe da $$ g_1(x^2)=g(x)g(-x),\; g_1(x)=-w^5 + 6w^4 - 3w^3 + 51w^2 - 15w + 25 $$ lo que permite de nuevo aplicar el teorema de Rouche, aunque sea a duras penas.
Esta es sólo una solución parcial. No tengo ninguna buena idea para la primera parte de la pregunta (mostrar que las partes reales de las raíces son todas menores que $1$ ), pero la segunda parte es fácil: la suma de las raíces es $1$ es decir, el negativo del coeficiente de $x^4$ lo que es imposible si las partes reales de las raíces son todas no positivas. Así que al menos una raíz tiene una parte real positiva.
Utilizando el Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz puedes saber cuántas raíces de tu sistema están en el plano complejo abierto de la izquierda, es decir, el conjunto $\{z\in\mathbb{C}: \operatorname{Re}(z) < 0\}$ .
En su caso para el polinomio $p(x)=x^5 - x^4 + 2x^3 + x^2 + x + 1$ la matriz de Hurwitz es:
1.0000 2.0000 1.0000
-1.0000 1.0000 1.0000
3.0000 2.0000 0
1.6667 1.0000 0
0.2000 0 0
1.0000 0 0En efecto, hay dos raíces con parte real no negativa. Podemos comprobar que no hay raíces imaginarias simplemente sustituyendo $x=ic$ y tratar de determinar $c\in\mathbb{R}$ para que $p(x)=0$ .
Ahora, para determinar si todas las raíces tienen una parte real inferior a $1$ necesitamos aplicar el criterio de Hurwitz al polinomio $q(x) = p(x+1)$ . De hecho, esto es
$$ q(x) = p(x+1) = x^5 + 4x^4 + 8x^3 + 11x^2 + 10x + 5 $$
para la que la matriz de Hurwitz es
1.0000 8.0000 10.0000
4.0000 11.0000 5.0000
5.2500 8.7500 0
4.3333 5.0000 0
2.6923 0 0
5.0000 0 0por lo que todas las raíces de $q$ están en el plano abierto de la izquierda, por lo que todas las raíces de $p$ tienen partes reales más pequeñas que $1$ .
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